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1、第一章 微积分基础和研究对象,第一节,主要内容：实数与邻域,微积分基础-集合、实数和极限,对和、乘法、减法封闭,有理点在数轴上稠密分布，不具有连续性,将所学过的数归纳如下：,一、实数,具有连续性,对和、乘法封闭，对减法不封闭,微积分研究的是连续变化的事物在数量方面的关系，今后所指的数是实数.,二.邻域,集合表示法：不等式表示法：区间表示法：几何表示法：,邻域的表示方法：,邻域的定义：,与点x0的距离小于(0)的全体实数的集合称作点x0的邻域,记作U(x0,),称x0为邻域的中心,称为邻域的半径.,例1 用邻域符号和区间符号分别表示不等式 所确定的 x 的范围.,解,已知不等式,用区间表示是,用
2、邻域符号表示是,第二节,主要内容：函数、基本初等函数与复合函数,微积分的研究对象-函数,常量：保持不变的量.如常数 1、2、50、e、变量：可以取不同值的量.,ln(1+x)中的 x,ln(1+x),如 sinx 中的 x,sinx,一、函数,定义（传统定义）如果在变化过程中有两个变量x、y,在 x某个变化范围 X 内的某一确定的值,按照某个对应法则 f,y 都有唯一确定的值与它对应,那么 y 就是 x 的函数.记作y=f(x)，称 x 为自变量,X 是 f 的定义域,全体函数值的集合称作函数的值域.,函数的定义表明了函数的结构.,函数是由定义域、对应法则、值域组成的.,函数的模型如同一部机器
3、，把X中任一原材料x输入f（x），就可产出实数y=f（x）.,定义域,自变量,因变量,定义域是自变量所能取的,使算式有意义的一切实数值.,对应规律的表示方法:,解析法,、图象法,、列表法.,a,如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相等的.,如,如果两个函数定义域和对应法则二者有一个不同，那么这两个函数是不同的.,如,.,分段函数,例2 在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩格尔系数，它反映了一个国家的富裕程度，也是国际通用的一项重要指标.,在定义域的不同区间上由不同的代数式来表示的函数称为分段函数.,函数的性质：,单调性、奇偶性、周期性.,有界性：,二、反函数的定义,设函数,Y 是值域.如果对于Y 内的任一 y,D内都有唯一确定的 x 与之对应，使 f(x)=y,则在Y 上确定了一个函数，这个函数称为函数 y=f(x)的反函数.记作 x=f 1(y),y 属于 Y.,原来的函数 y=f(x)称为直接函数.,直接函数与反函数的图形关于直线 y=x对称.,反函数存在性定理：,单调函数存在反函数，且函数与其反函数的单调性相同.,
