《拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析.ppt（147页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析,教学目的：1 掌握拉氏变换及拉氏反变换的定义；2 掌握拉氏变换的基本性质；3 掌握拉氏变换分析法（求解电路问题）；4 掌握系统函数的概念；5 掌握由系统函数分析系统频响特性的方法。教学重点：1 拉氏变换对及其性质；2 系统函数及系统频响特性。,4.1引言,FT的优点在于：物理概念清楚,FT不足之处:(1)只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，其分析信号的范围受到限制；(2)在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。,拉氏变换法(LT 拉普拉斯Laplace)优点：将微积分方程求解问题转化为代数方程求解。
2、进行变换时，初始条件被自动计入，无需计算从0到0状态的跳变。缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。,本章的学习方法：注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。,4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域,一.拉氏变换的定义 从傅氏变换到拉氏变换,二拉氏变换的收敛域,三一些典型信号的拉氏变换,一、从傅氏变换到拉氏变换,有一些信号不满足狄里赫利条件，FT不存在：u(t)增长信号周期信号,若乘一衰减因子 为任意实数，则 收敛，满足狄里赫利条件,乘一衰减因子,一拉普拉斯变换定义,则,1拉普拉斯正变换（LT),2拉氏逆变换(LT1）,拉氏变换对,双边拉氏变换,单边拉氏变换,自动包含0条件,FT:实频率 是振荡频率LT
3、:复频率S 是振荡频率，控制衰减的速度,FT:,LT:,拉氏变换已考虑了初始条件,初值，若有跳变则为,证明：,二拉氏变换的收敛域,收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域；记为：ROC(region of convergence)实际上就是拉氏变换存在的条件。,数学描述：,图形表示：,说明,6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。,三一些常用函数的拉氏变换,1.阶跃函数,2.指数函数,全s域平面收敛,3.单位冲激信号,4tnu(t),常用信号的拉氏变换,4.3 拉普拉斯变换的基本性质,主要内容线性性质 时域微分时域积分 延时（时域移位）s域平移（频域移位）尺度变换初值定理 终值定理
4、卷积定理 s域微分s域积分,一线性性质,已知,则,同理,例题：,二时域微分,推广：,证明：,零状态条件下，时域微分一次，频域乘一个s,电感元件的s域模型,电感元件的s模型,应用时域微分性质,设,当iL(0）0时，,三时域积分,证明：,零状态条件下，时域积分一次，频域除一个s,电容元件的s域模型,电容元件的s模型,当vc(0-)=0时，,四延时（时域平移）,证明：,时移特性、例题,【例4-1】,已知,【例4-2】,见书例4-5 P185“连根拔”向u（t）靠拢,例 求半波正弦函数的拉氏变换,0 T/2 T t,E,五s域平移(频域移位）,证明：,例4-3,据频域移位性质,六尺度变换,时移和标度变
5、换都有时:,证明：,见书P187,七初值,初值定理证明,由原函数微分定理可知,八终值,证明：,根据初值定理证明时得到的公式,终值存在的条件:,说明,例4-4,即单位阶跃信号的初始值为1。,例4-5,九卷积定理（时域、频域）,证明：,十对s微分,拉氏变换的基本性质（1）,线性,微分,积分,时移,频移,拉氏变换的基本性质（2）,尺度变换,终值定理,卷积定理,初值定理,4.4 拉普拉斯逆变换,主要内容查表法部分分式展开法留数法两种特殊情况,简单函数利用典型信号的变换对及性质查表,例1:,一、查表法,例2:,求逆变换f(t)：,解：,得：,F(s)的一般形式,ai,bi为实数，m,n为正整数。,分解,
6、零点,极点,(mn),二、部分分式展开法,1.第一种情况：单阶实数极点,2.第二种情况：极点为共轭复数,3.第三种情况：有重极点存在,共轭极点出现在,1.第一种情况：单阶实数极 点,展开：,公式推导,部分分式展开法求拉氏逆变换的过程,(1)求极点,(2)展成部分分式,(4)逆变换,(3)求系数,例：求逆变换,解：,k2=-5，k3=6,2.第二种情况：极点为共轭复数,共轭极点出现在,求f(t),例题,求k11，方法同第一种情况：,求其他系数，要用下式,公式推导,3.第三种情况：有重根存在,求k12?,例：求逆变换,如何求k2?,求逆变换,所以：,三F(s)两种特殊情况,非真分式 化为真分式多项
7、式,1.非真分式真分式多项式,作长除法,2.含e-s的非有理式,4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型,主要内容用拉氏变换法分析电路的步骤微分方程的拉氏变换利用元件的s域模型分析电路,拉氏变换分析法是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为s域的代数方程，便于运算和求解；变换自动包含初始状态，既可分别求得零输入响应、零状态响应，也可同时求得系统的全响应。,拉氏变换分析法,拉氏分析法,一、用拉氏变换法分析电路的步骤,列时域微分方程，用微分性质求拉氏变换；直接按电路的s域模型建立代数方程。,(1)输入信号x(t)为有始信号,二、拉氏分析法（微分方程）,(2)系统响应y
8、(t),初始状态已知为：,方程两边取拉氏变换，考虑到时域微分性质,.,右边：,.,左边：,输入信号x(t)为有始信号,整理成,A0(s),A1(s),An-2(s),An-1(s),.,系统函数,拉氏分析法（复频域分析法）,解：方程两边作拉氏变换,例4-5-1：求系统响应y(t)。已知,拉氏分析法的优点,1.把微分方程转化成代数方程求解。,3.当已知电路时可直接由电路的s域模型求 解，无需列写电路的微分方程。,2.0-到 作单边拉氏变换，0-状态自动包含 其中，自动引入初始条件。,三、利用元件的s域模型分析电路,1.各电路元件的s域模型,2.电路定理的推广,线性稳态电路分析的各种方法都适用。,
9、电阻元件的s域模型,电感元件的s域模型,电容元件的s域模型,零状态条件下：,电阻,电感,电容,利用元件的s域模型求响应的步骤,由时域电路模型画s域等效模型；据KCL和KVL列s域方程（代数方程）；解s域方程，求响应的拉氏变换V(s)或I(s)；拉氏反变换求v(t)或i(t)。,例,列s域方程:,对应的s域模型如图:,结果同例4-13，但不需要列写微分方程,小结：拉氏分析法解电路问题的方法：,由微分方程或电路求解 由复频域电路模型求解,4.6 系统函数(网络函数)H(s),系统函数H(s)LTI互联网络的系统函数并联 级联 反馈连接,系统函数零状态条件下系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之
10、比。,1.定义：,系统函数H(s)的含义,设系统的单位冲激响应为h(t),激励为x(t),零状态响应为yzs(t)，则有：,一对拉氏变换对,系统时域特性h(t),频域特性H(s),2.H(s)的分类,策动点导纳,策动点阻抗,策动点函数：激励与响应在同一端口时,转移函数：激励和响应不在同一端口,3H(s)的求法,(1)在零状态下，对原方程两端取拉氏变换,例4-6-1,例4-6-2,列s域方程:,零状态条件下，系统对应的s域模型如图如左:,4.应用：,求系统的零状态响应由H(s)判断系统的时域特性、频响特性、稳定性,例4-6-1,(1)在零状态下，对原方程两端取拉氏变换,(2),因为,所以,所以,
11、二LTIS互联的系统函数,1LTI系统的并联,2LTI系统的级联,3LTI系统的反馈连接,例4-6-2,已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和描述此系统的微分方程。,4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性,H(s)零、极点与h(t)波形特征H(s)、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应,一H(s)零、极点与系统零极点图,1系统函数的零、极点,4-7-1 画出如下系统的零极点图,极点：,零点：,2.系统函数的零极点图,在s平面上，极点：用表示，零点：用表示，画出的图形为H(s)的零极点图。,一阶极点,当，极点在左半平面，衰减振荡当，极点在右半平面，增幅振荡,2.H(s)零、
12、极点与h(t)波形特征的对应,二阶极点,几种典型情况图示,极点于S面左半平面 h(t)呈衰减形式极点于S面右半平面 h(t)呈增长形式极点于S面虚轴上 h(t)等幅振荡或等值,H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应关系：,二H(s)、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应,自由响应分量 强迫响应分量,响应：,结论：自由响应的响应形式由H(S)的极点决定。强迫响应的响应形式由E(S)的极点决定。,H(S)和E(S)的零点只是影响响应的幅度和相位。,4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性,定义几种常见的滤波器根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线,一系统频响特性定义,系统的前提：
13、稳定的因果系统。一般有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。,时域条件：,频域条件：H(s)的全部极点落在s左半平面。,系统稳定的条件：,系统的稳态响应,系统的稳态响应为：,由(1)：在频率为0的正弦激励信号作用下，系统的稳态响应仍为同频率的正弦信号，幅度被乘以系数H0，相位变化0。,由(2)：H0和0是系统函数H(s)在j0处的幅值和相位。,同理：在频率为1、2、的正弦激励信号作用下，系统的稳态响应仍为同频率的正弦信号，幅度被乘以系数H1、H2、H,相位变化1、2。,系统幅频特性,系统相频特性（相移特性）,理解系统频响特性意义,所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化情况
14、。记为：,定义：,H1,H2,H3,幅频特性：,系统的频响特性由系统自身的结构决定，与激励没有关系。,低通滤波器（LPF),O,相频特性：,系统函数：H(s)，H(j)和h(t)的关系,拉氏变换对：h(t)H(S),傅氏变换对：h(t)H(j),二几种常见的滤波器的频响特性,三根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线,令分子中每一项,令分母中每一项,S平面,w变化时，jw沿虚轴移动时，各矢量的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。,由矢量图确定频率响应特性,例4-8-1,由系统函数的零、极点画出系统的频响特性。,频响特性分析,辐频特性,相频特性,4.8小结：,频响特性的定义与
15、含义 由H(s）的零、极点确定系统的频响特性 H(s）、H(j)、h(t)的关系,4.9 全通函数与最小相移函数的零、极点分布,全通网络最小相移网络非最小相移网络,一全通网络,所谓全通是指它的幅频特性为常数，对全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。,极点位于左半平面，零点位于右半平面，零点与极点对于虚轴互为镜像,全通网络的特点：,频率特性,幅频特性常数相频特性不受约束全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性，只改变信号的相位频谱特性，在传输系统中常用来进行相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。,由于N1N2N3与M1M2M3相消，幅频特性等于常数K，即,二最小相移网络,若网络函
16、数在右半平面有一个或多个零点，就称为“非最小相移函数”，这类网络称为“非最小相移网络”。,3,1,3,1,三非最小相移网络,非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的级联。,非最小相移网络,最小相移网络,全通网络,+,4.10 线性系统的稳定性,引言定义（BIBO）证明由H(s)的极点位置判断系统稳定性,稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。冲激响应h(t)、和H(s)系统函数从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确定系统的稳定性。,一系统的稳定性,一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统为有界输入有界输出（BIBO）稳定的系统，简
17、称稳定系统。,数学描述：,二、系统稳定性的判定,h(t)绝对可积：系统稳定的充分必要条件,三系统稳定性分类及判断,H(s)的极点位于s左半平面,H(s)的极点位于s右半平面,H(s)极点位于s平面虚轴上,为非零数值或等幅振荡,频域,时域,例4-10-1,当常数k满足什么条件时，系统是稳定的？,如图所示反馈系统，子系统的系统函数,为使极点均在s左半平面，必须,则反馈系统的系统函数为,连续时间系统稳定性判断,罗斯-霍尔维兹准则,（本部分内容自修）,罗斯-霍尔维兹准则设n阶线性连续系统的系统函数为,式中，mn，ai(i=0,1,2,n)、bj(j=0,1,2,m)是实常数。H(s)的分母多项式为,H
18、(s)的极点就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，则A(s)称为霍尔维兹多项式。A(s)为霍尔维兹多项式的必要条件是：A(s)的各项系数ai都不等于零，并且ai全为正实数或全为负实数。若ai全为负实数，可把负号归于H(s)的分子B(s)，因而该条件又可表示为ai0。显然，若A(s)为霍尔维兹多项式，则系统是稳定系统。罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯-霍尔维兹准则(R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则)。,罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯-霍尔维兹准则(R-H准则)。
19、罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则)。,若n为偶数，则第二行最后一列元素用零补上。罗斯阵列共有n+1行(以后各行均为零)，第三行及以后各行的元素按以下规则计算：,罗斯判据(罗斯准则)指出：多项式A(s)是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素全为正值。若第一列元素的值不是全为正值，则表明A(s)=0在右半平面有根，元素值的符号改变的次数(从正值到负值或从负值到正值的次数)等于A(s)=0在右半平面根的数目。根据罗斯准则和霍尔维兹多项式的定义，若罗斯阵列第一列元素值的符号相同(全为正值)，则H(s)的极点全部在左半平面，因而系统是稳定系统。若
20、罗斯阵列第一列元素值的符号不完全相同，则系统是不稳定系统。,综上所述，根据H(s)判断线性连续系统的方法是：首先根据霍尔维兹多项式的必要条件检查A(s)的系数ai(i=0,1,2,n)。若ai中有缺项(至少一项为零)，或者ai的符号不完全相同，则A(s)不是霍尔维兹多项式，故系统不是稳定系统。若A(s)的系数ai无缺项并且符号相同，则A(s)满足霍尔维兹多项式的必要条件，然后进一步再利用罗斯-霍尔维兹准则判断系统是否稳定。,例 4.8-2 已知三个线性连续系统的系统函数分别为,判断三个系统是否为稳定系统。,解 H1(s)的分母多项式的系数a1=0，H2(s)分母多项式的系数符号不完全相同，所以
21、H1(s)和H2(s)对应的系统为不稳定系统。H3(s)的分母多项式无缺项且系数全为正值，因此，进一步用R-H准则判断。H3(s)的分母为,A3(s)的系数组成的罗斯阵列的行数为n+1=4，罗斯阵列为,根据式(4.8-20)和式(4.8-21)，得,因为A3(s)系数的罗斯阵列第一列元素全大于零，所以根据R-H准则，H3(s)对应的系统为稳定系统。,例 4.8-3 图 4.8-4 所示为线性连续系统的S域方框图表示。图中，H1(s)为,图 4.8-4 例 4.8-3 图,K取何值时系统为稳定系统。,解 令加法器的输出为X(s)，则有,由上式得,根据H(s)的分母构成罗斯阵列，得,由式(4.8-
22、20)和式(4.8-21)计算阵列的未知元素，得到阵列为,根据R-H准则，若 和-K0，则系统稳定。根据以上条件，当K0时系统为稳定系统。,4.12 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系,引言,傅氏变换与拉氏变换的关系,一,二,f(t)衰减函数，傅氏变换存在:,三,例如：,对于只有一阶极点的情况，极点位于虚轴,则,证明:,根据变换的惟一性,4.12 小结,例4-12-1,例4-12-2,两种方法结果相同。,本章小结：,拉氏变换对定义拉氏变换的基本性质拉氏逆变换的求法（部分分式展开法）拉氏分析法电路系统的s域网络模型系统函数H(s)系统的频响特性H(j)系统的稳定性（时域、频域）LT和FT之间的关系,本章作业：,41（8、12、13、15）43（1、4、5）44（14、16、19）411419421445,
