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1、第13章 拉普拉斯变换,重点,(1)拉普拉斯变换的基本原理和性质(2)掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤(3)电路的时域分析变换到频域分析 的原理,拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解。,13.1 拉普拉斯变换的定义,1.拉氏变换法,例,熟悉的变换,1 对数变换,把乘法运算变换为加法运算,2 相量法,把时域的正弦运算变换为复数运算,s为复频率,应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。,2.拉氏变换的定义,正变换,反变换,t 0,f
2、(t)=0,今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换,计及t=0时f(t)包含的冲击。,注,在t0 至t0 f(t)=(t)时此项 0,1,如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：,则,总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值，即f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。,3.典型函数的拉氏变换,(1)单位阶跃函数的象函数,(3)指数函数的象函数,(2)单位冲激函数的象函数,13.2 拉普拉斯变换的基本性质,1.线性性质,例1,解,例2,解,根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。,2.微分性质,时域导数性质,例1,解,推广：,例2,解,
3、频域导数性质,例1,解,例2,解,例3,解,3.积分性质,应用微分性质,例,解,4.延迟性质,注,例1,例2,求矩形脉冲的象函数,解,根据延迟性质,求三角波的象函数,解,求周期函数的拉氏变换,设f1(t)为第一周函数,例3,解,初值定理：,f(t)在t=0处无冲激则,终值定理：,五.初值定理和终值定理,证：利用导数性质,校验：,13.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开,用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法：,(1)利用公式,(2)对简单形式的F(S)可以查拉氏变换表得原函数,(3)把F(S)分解为简单项的组合,部分分式展开法,利
4、用部分分式可将F(s)分解为：,象函数的一般形式：,待定常数,1,待定常数的确定：,方法1,方法2,求极限的方法,例,解法1,解法2,一对共轭复根为一分解单元设：,原函数的一般形式：,2,K1,K2也是一对共轭复根,例,解,方法二：配方法，根据,3,例,解,小结,1.n=m 时将F(s)化成真分式和多项式之和,由F(s)求f(t)的步骤：,2.求真分式分母的根，确定分解单元,3.将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数,4.对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。,例,解,相量形式KCL、KVL,元件 复阻抗、复导纳,相量形式电路模型,13.4 运算电路,基尔霍夫定律的时域表示：,基尔霍夫定
5、律的相量表示：,相量法：,1.电路定律的运算形式,电路定律的运算形式：,元件 运算阻抗、运算导纳,运算形式的KCL、KVL,运算形式电路模型,运算法与相量法的基本思想类似：,把时间函数变换为对应的象函数,把微积分方程变换为以象函数为变量的线性代数方程,u=Ri,2.电路元件的运算形式,电阻R的运算形式,电阻的运算电路,电感L的运算形式,L的运算电路,电容C的运算形式,C的运算电路,耦合电感的运算形式,耦合电感的运算电路,受控源的运算形式,受控源的运算电路,RLC串联电路的运算形式,运算阻抗,3.运算电路模型,时域电路,运算电路,运算形式欧姆定律,1.电压、电流用象函数形式,2.元件用运算阻抗或
6、运算导纳,3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示,例,给出图示电路的运算电路模型,uc(0-)=25V iL(0-)=5A,例,给出图示电路的运算电路模型,注意附加电源,13-1 13-3 13-4,课后作业：,13.5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路,计算步骤：,1.由换路前的电路计算uc(0-),iL(0-)。,2.画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电 源的作用。,3.应用电路分析方法求象函数。,4.反变换求原函数。,例1,(2)画运算电路,解,(1)计算初值,(4)反变换求原函数,注意,求冲激响应,例2,解,t=0时打开开关k,求电流 i1,i2。已知：,例3,解,注意,小结：,1、运算法直接求得全响应,3、运算法分析动态电路的步骤：,2、用0-初始条件，跃变情况自动包含在响应中,1).由换路前电路计算uc(0-),iL(0-)。,2).画运算电路图,3).应用电路分析方法求象函数。,4).反变换求原函数。,磁链守恒：,课后作业：,13-8、13-9、13-10、13-11 13-12 13-17 13-20,
