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1、1、指数分布和的有效性和无记忆性,指数分布的密度函数为：,分布函数为：,则,称为元件的有效性,例（教材P96）某元件的使用寿命X服从指数分布,其平均使用寿命为1000小时,求该元件使用1000小时没有坏的概率.,解:由于EX=1000可知,该指数分布的参数为,所以,X的分布函数为,例 某种产品的寿命服从指数分布，均值为1000小时。按照厂方承诺，寿命大于100小时为合格品，每件产品可赚5元；50100小时为次品，每件产品可赚1元；小于50小时为废品，每件赔3元.求平均每件产品可盈利多少。,解：设X表示产品的寿命，Y表示产品的盈利，则：,，,例某种产品的寿命服从指数分布，均值为1000小时。（1
2、）使用1000小时没有坏的概率。（2）若发现该元件使用了500小时没有损坏,求它还可以继续使用1000小时的概率.,解:(1),(2),注意：,这种性质称为无后效性,若 X(),则,所以，又把指数分布称为“永远年轻”的分布,指数分布的“无记忆性”（无后效性）：,证：,即元件以前曾经无故障使用的时间，不影响它以后使用寿命的统计规律。,几何分布也有这样的性质,2、二项分布的最有可能值,二项分布的分布列为：,某些特殊情况的二项分布列：,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,二项分布列，n=9，p=1/2,二项分布列，n很大，p很小,当p=1/2时，分布列相对于n/2的位置是对称的；当p1/2时，分
3、布列偏向于n。,一般地，若对X的所有可能取值 j，有：,则称 k为X 的最大可能值，记做,则必有,即,由(1)式,由(2)式,当(n+1)p 是整数时，在 k0=(n+1)p与(n+1)p1处的概率取得最大值。（概率值相等）,当(n+1)p 不是整数时，在 k0=(n+1)p 处的概率取得最大值。（(n+1)p 表示取(n+1)p最大整数部分）,结论：,例如：某人投篮命中率为0.4，问连续10次独立的投篮中，最有可能命中多少次？若是9次投篮呢？,3.二项分布的计算,(1)直接查表(教材347页附表1，二项分布函数值表),解:,首先应确定n,p的值.,由于 EX=np=6 DX=npq=4.2,
4、解得 q=0.7,p=0.3,n=20,P(X5)=1-P(X5)=1-P(X4)=1-0.2375=0.7625,例（P86）随机变量XB(n,p),已知EX=6,DX=4.2计算P(X5),查附表1,得,(2)当n40,p比较大时，无法直接查表，可利用下述定理:,定理2.4 如果随机变量XB(n,p),且Y=n-X,则YB(n,q),其中q=1-p.,证:略,若X表示n次重复试验中事件A发生（成功）的次数，则Y=n-X表示事件A不发生（失败）的次数。,显然有如下两个公式成立:,P(X=k)=P(Y=n-k),P(Xk)=P(Yn-k),例（教材P84）某人投篮的命中率为0.8，若连续投篮5
5、次，求最多投中2次的概率.,解,设X为5次中投中的次数，则,设Y为5次中未投中的次数，则,例（教材P85）某人射击的命中率为0.8，今连续射击30次，计算命中率为60%的概率.,解,设X为30次中命中目标的次数，则,例（教材P86）计算机在进行加法运算时,每个加数按四舍五入取整数,假定每个加数的取整误差服从-0.5,0.5上的均匀分布,今有5个加数相加,计算它们中至少有3个加数的取整误差绝对值不超过0.3的概率。,解,设X表示一个加数的取整误差,设Y表示5个加数中取整误差绝对值不超过0.3的个数,如果n40,如何计算？,泊松近似,四 超几何分布(了解）,如果随机变量X的概率函数为,则称X服从超
6、几何分布,记为XH(n,N1,N),可以验证,若N个元素分为两类,2、应用场合,即X服从超几何分布。,超几何分布在产品的质量检验等方面有广泛的应用。,例(教材P91)有产品20件，其中有二等品5件，其余为一等品。今从这些产品中随机地抽取4件检验质量，求取到的二等品的件数X的分布。,解,X的可能取值为0,1，2,3，4。,X的分布为,具体值列表如下,期望与方差,4、超几何分布与二项分布的关系,即当N很大,n相对与N很小时,超几何分布以二项分布为极限.,在超几何分布中,超几何分布的极限分布是二项分布,二项分布的极限分布是 Poisson 分布,例（教材P92）有1000件产品，其中废品数为15件，混放装箱，每箱100件，现从中任取一箱，求箱中有一件是废品的概率。,解,设箱中的（即任取的100件中的）废品数为X，则X服从超几何分布,
