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1、第六章 数值积分,计算定积分,在工程、物理等领域应用广泛。几何意义表示面积、体积等。,若f(x)在a,b上连续，f(x)的原函数为F(x)，可利用牛顿-莱布尼兹公式：,换元法、分部积分法、多重积分中极坐标法等。实际情况中，更多使用数值计算求近似解，因为,(1)有时寻找原函数困难。如超越函数：,(2)能找到原函数，但原函数可能过于复杂，不便计算。,(3)f(x)本身是通过测量或计算得到的列表函数，以数据表 形式给出。,6.1问题提出：,精解解：,另一些方法：,1.通过积分中值定理：(当f(x)在闭区间a,b上连续时),a,b,近似解精度取决于，,当=a时,左矩形公式,当=(a+b)/2 时,中矩
2、形公式,当=b时,右矩形公式,2.通过积分定义方法求近似解,对区间a,b 作分割 a=x0 x1xn=b,记xk=xk+1 xk,则,常用数值方法：,所以近似解可写成：,一般地，求积公式可写成：,其中xk为求积节点，Ak为求积系数。,若节点处f(xk)已知，只要求出Ak,便可得到,该方法称为机械求积法。,6.2 插值型求积公式：,(对f(x)使用拉格朗日插值构造多项式近似）,给定一组节点a=x0 x1xn=b,已知f(x)在节点的值为f(xk),对f(x)作拉格朗日插值多项式,其中,(k=0、1、.n),(lk(x)为代数多项式，求原函数方便）,所以,记,只要计算出Ak就可得到求积公式,该方法
3、称为插值求积公式.,当n=1时,x0=a,x1=b,此时,称为梯形公式,当n=2时,x0=a,x1=,x2=b,(可使用换元法或直接法求原函数),（即利用,这里令),称为辛普生公式（Simpson）.,当n=4时,取5个等矩节点，,可类似求得,称为柯特斯公式(Cotes).,6.2.2 插值型求积公式误差和代数精度,由拉格朗日插值余项知：,与x有关。,当f(x)为n次多项式，且已知n+1个节点的函数值时,总能构造Ln(x),使得,即,此时称该求积公式精度成立。,另外,给出代数精度定义：,设,为数值求积公式,对于任意不高于m次的多项式,f(x)都能精度成立,但至少对1个m+1次的多项式不能保证精
4、确成立，则该求积公式有m次代数精度.,其中,代数精度可反映数值积分公式的精确度。,对代数精度,有下列一些性质：,1.由n+1个求积节点得到的插值型求积公式，其代数精度至少为n。,2.反过来，如果,的代数精度至少为n，则它对,是精确成立的.,这是因为li(x)是n次多项式,且已知n+1个节点的函数值,此时有:,(代数精度至少为n,),又由于,(这是因为当),这说明,即,是插值型求积公式。,定理1.求积公式,充要条件是该公式是插值型的，即,(k=0,1,2n),判断求积公式的代数精度,可使用下面定理2：,定理2.求积公式,具有m次代数精度的充要条件是,精确成立，而对,不能精确成立。,对代数多项式f
5、(x),求,的代数精度主要考虑,形式。,例：求梯形公式,的代数精度.,由性质和得定理1：,至少具有n次代数精度的,对,证明略。,左=右,左=右,左右,所以该式的代数精度为1。,例(作业)：求辛普生公式,的代数精度。,首先知:辛普生公式为插值型公式，已知3个节点，代数精度至少为2。（可自行验证）,当,时，左,右,当,时，通过计算知，左右,代数精度为3.,同理可知，柯特斯公式的代数精度为5.,6.2.3 梯形公式,辛普生公式,柯特斯公式的截断误差,(1)梯形公式,与x有关.,这里利用积分第一中值定理,即,若f(x)在a,b上连续,g(x)在a,b上不变号,且在a,b上可积,则a,b中存在点,有:,
6、当,时，,不变号，此时有：,此时左=右,精确成立.,(2)辛普生公式,首先知：对次数,的多项式，精确成立，误差为0.,注意：若使用原来公式,此时无法使用积分中值定理(,在a,b内变号),通常对f(x)构造满足下列插值条件的三次插值多项式,利用前面介绍的带导数条件插值知H3(x)存在，且有：,且与x有关(一般情况下，x可能不在a,b内),对高于3次的多项式求误差：,通过,三点，所以,又,为三次多项式，此时使用辛普生求积公式精确成立，即,即可表示为原来函数的辛普生公式.,可求出,(3)柯特斯公式，具有5次代数精度,截断误差可表示为,6.3 复合求积公式,由截断误差知：余项大小与区间(b a)有关,
7、(b a)越大，误差越大。,求积分时，可将区间分成若干小区间,I(f)可看成是所有小区间上的积分之和,对每个小区间，,可使用梯形公式、辛普生公式、柯特斯公式计算,即：,对区间作n等分，记,为步长,则,复合梯形公式,对每个小区间，其误差余项为：,整个区间a,b上的误差为：,当,时，由定积分定义知：,由式可知：当h适当小时有：,6.3.2 复合辛普生公式：,其中,对每个子区间，余项为,类似的，可得：当h适当小时有：,6.3.3 复合柯特斯公式：,其中,同理，当h适当小时有：,6.3.4 复合求积公式的阶,设有复合求积公式,，如果有,，c为非零常数与h无关。,则称该复合公式是p阶收敛。,可反映求积公
8、式达到相同精度下的计算速度快慢。,由前面分析知：,复合阶梯公式、复合辛普生公式、复合柯特斯公式的阶分别为2,4,6,例：对,，利用数据表使用复合梯形公式和复合,精确解：,(1)复合梯形公式(将其8等分，n=8),=3.138950（三位有效数字）,辛普生公式，计算积分,(2)复合辛普生公式(可将其四等分，n=4),从计算精度和收敛速度考虑，复合辛普生公式好于复合梯度公式（精度低收敛慢）,作业：分别用复合梯形公式(8等分)和复合辛普生公式(4等分)，,保留小数点后4位,并与精确值比较，各有几位有效数字?,解：复合梯形公式:,3.141590（七位有效数字）,将其8等分，n=8，h=1,计算积分,
9、T8(f)=,f(1)+2(f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8),17.3061,复合辛普生公式:将其4等分，n=4，h=2,S4(f)=,2(f(1)+4f(2)+f(3)+(f(3)+4f(4)+f(5)+(f(5)+4f(6)+f(7)+(f(7)+4f(8)+f(9),17.3321,17.3333,6.3.5 步长的自动选择,使用复合求积公式时，步长太大，精度不够；步长太小，计算量增加。给定误差精度要求，如何求步长?,可将区间逐次二等分，利用复合求积公式，直至前后两次积分值的差满足精度。,精确值：,设复合求积公式的阶为,，当h0时，有：,I(f)In(
10、f),I(f)I2n(f),将代入中，消去,得：,I(f)I2n(f)=,I(f)In(f),每二等分一次，误差缩小,倍。对式，移项整理得：,即 I(f)I2n(f)=,I2n(f)In(f),设给定的精度为,，若,则I2n(f)可作为复合求积公式的近似解。,比较复合梯形公式和复合辛甫生公式前者计算简单，但精度低，收敛慢（p=2),如何利用复合梯形公式计算，但能得到高精度的效果？,当,与,相近时，,的误差变小，可将误差值修正，得到,6.4 龙贝格求积公式,考虑复合梯形公式，采用二分操作时有,此时即为复合辛甫生公式,可将原来精度提高至复合辛甫生公式精度.,所以复合辛甫生公式可通过,和,的线性组合
11、即,计算得到.,同理：对复合辛甫生公式进行修正，可提高精度,进行修正得：,(复合柯特斯公式),所以复合柯特斯公式可通过,和,的线性组合即,计算得到.,同理，对复合柯特斯公式进行修正，可提高精度：,进行修正得：,该公式称为龙贝格公式，可以验证有7次代数精度，即,截断误差为,，关于h的8阶无穷小量(也可理解为阶为8),复合梯形公式：,即为,复合辛甫生公式：,即为,对复合柯特斯公式：,该方法称为龙贝格求积方法,具体计算顺序如下图,可利用精度低的复合梯形公式通过线性组合，加工或精度高的复合辛甫生公式，复合柯特斯公式和龙贝格公式.,T1,T2,T4,T8,T16,对积分区间 先计算T1,将其二等分 计算
12、T2,S1,再将其二等分 计算T4,C1,S2,再二等分 计算T8,R1,C2,S4,R2,C4,S8,是否满足精度要求，以是否达到误差范围,为标准，即,若以复合柯特斯公式为依据(p=6),即,另外，使用复合梯形公式计算时，可简化部分计算量,需n+1个节点函数值，,需2n+1个节点函数值（但包含已知的n+1个函数值）,不必重新全部计算2n+1个节点函数值，只需要将前面已得到的,加上新节点（n个）的函数值即可得到,关于,的递推公式：,假设子区间,经二分后增加新节点为,使用复合梯形公式得到该子区间的积分值为：,例：使用龙贝格方法计算,(计算R1),设,，此时,利用递推公式求,(此时利用原来的h=2),（此时h=1),（此时h=0.5),
