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1、课程简介,数值计算方法,苏丽自动化学院406教研室TEL：82519594Email：,课程名称：数值计算方法学 时：32学时（26学时理论课+6学时上机）学 分：2学分所用教材：计算机数值方法（第二版）施吉林等 高等教育出版社考核方式：开卷考试，卷面成绩70%测验出席15%上机成绩15%,公共邮箱：密码：shuzhi2012,现代科学研究的三大支柱,计算数学,21世纪信息社会的两个主要特征：“计算机无处不在”“数学无处不在”,21世纪信息社会对科技人才的要求：-会“用数学”解决实际问题-会用计算机进行科学计算,课程介绍,数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解，并能够在计算机上求解
2、的数学方法，简称计算方法。,应用领域：计算方法的计算对象是微积分，线性代数，常微分方程中的数学问题。在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。例如，在航天航空、地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报，甚至在汉字字样设计中都能用到计算方法。,特点：既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性的技术特征，是一门理论性和实践性都很强的学科。,第一章 绪论,数值计算方法,苏丽自动化学院2012年11月13日,第一章 绪 论,1.3 误差,1.1 计算机数值方法的研究对象,1.2 计算方法的概念,1.1 计算机数值方法的研究对象,科学技术的发展提出了大量复杂的数值计算问题.而这些问题中有
3、许多是在理论上有解而又无法用手工计算的.而计算机的飞速发展，为解决这些问题开辟了广阔的前景.,用计算机解决科学计算问题时经历的几个过程：,实际问题,数学模型,数值方法,程序设计,上机计算求出结果,计算机数值方法就是研究将数学模型变成数值问题,并研究数值问题的数值方法，进而设计数值算法。,1.2 计算方法的概念,一、计算方法（算法）：求解数学问题的方法。现在指：用计算机求解数学问题的方法。,计算方法又称作数值分析。,计算方法（数值分析）求解实际问题的过程：1.建模；2.算法设计；3.程序设计。,数值问题：输入数据与输出数据之间函数关系的一个 确定而无歧义的描述,例,二.数值问题,求解二次方程,是
4、数值问题,数学模型并不都是“数值问题”,求解微分方程,不是数值问题,将上述非数值问题变成数值问题的方法：,离散化,三.数值方法,常见的在计算机上不能直接运行的计算有：,开方、极限、超越函数、微分、积分等,1.数值方法：是指求解数值问题的系列计算公式。,2.计算机数值方法：是指求解数值问题的计算机上可执行的系列计算公式。,所谓“计算机上可执行的系列计算公式”是指这一系列计算公式中的运算，只有四则运算和逻辑运算等计算机上可执行的运算。,注：计算公式不一定都属于计算机数值方法。,3.数值方法的主要任务:,1）将计算机上不能直接计算的运算化为在计算机上可执行的运算；,2）针对数值问题研究在计算机上可执
5、行的且行之有效的系列计算公式；,3）因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析,即数值问题的性态及数值方法的稳定性。,四、数值算法,数值算法：指有步骤地完成解数值问题的过程。,五.算法描述,1.数学语言2.图示法：流程图、结构化框图3.自然语言描述法4.程序语言,六.评价算法的优劣,1.计算量的大小2.存储量3.精度,1.3 误差(),一、误差的来源,舍入误差：由于计算机字长有限，原始数据在计算机上表示时，对超过位数的数字要进行舍入，另外在计算过程中也可能产生误差，这种误差称为舍入误差。,截断误差：由于计算机只能完成有限次算术运算和逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷过程进行的运算有限化,对
6、无穷过程进行截断,这就带来误差.,二、误差的基本概念,1.绝对误差：,2.绝对误差限：,绝对误差限或误差限,注意：,3.相对误差：,4.相对误差限：相对误差绝对值的任一个上界 均称为相对误差限，简记为,注意：,代替相对误差,代替相对误差限,5.由于实际计算中，准确值x往往未知，所以当 较小时，可用x*代替x，即用,哪个更精确呢?,解：,三、有效数字(),有5位有效数字,只有4位有效数字,有3位有效数字,定理1.,P14.定义3.4有错误,五、数值方法的稳定性与算法设计原则,1.数值方法的稳定性：若原始数据或某一步的舍入误差，在执行过程中能够得到控制，则称该数值方法是数值稳定的。（反映了舍入误差
7、对计算结果的影响）,影响数值问题计算精度的几个因素：,1、数值问题计算精度与数值方法的稳定性有关；2、数值问题计算精度与数值问题的性态好坏有关；3、数值问题计算精度与截断误差有关.,例8.,计算定积分,解:,误差放大 5千倍!,2）如果利用递推公式 计算，,1）四则运算中的稳定性问题,例：作一个有效数字为4位的连加运算,2.算法设计时应注意的原则,防止大数吃小数 连加进行时，应将绝对值小的数放在前面计算，绝对值大的数放在后面计算。,而如果将小数放在前面计算,（2）作减法时应避免相近数相减 两个相近的数相减,会损失有效数字的位数，在算法设计中,若出现两个相近数相减,则应改变计算公式,如使用三角变换、有理化等等,（3）避免小数作除数和大数作乘数 小数作除数会放大商的误差，大数作乘数会放大积的误差。,对于,对于,2）提高算法效率问题,(1)尽量减少运算次数,(2)尽量使用耗时少的运算,（3）充分利用存储空间 主要是要注意节省原始数据的存储空间和节省工作单元.,如:比,比,比 都要节省运算时间,例：直接计算 需要计算254次乘法，若用公式 计算，只需作14次乘法.,
