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1、,3.2.2 性能函数表示式及其几何意义 自适应滤波器的分析研究中，性能函数是一个重要函数,下面我们推导它的其它表示方法以及几何意义。将(3.2.14)式代入(3.2.8)式，可以用最小均方误差表示性能函数，推导如下：为表示方便，令=Ee2j,则,将(3.2.12)式代入上式，得到,令,V=W-W*=v1,v2,vNT,V称为偏差权向量，它表示权向量对最佳权向量的偏差。这样性能函数：,(3.2.15),(3.2.16),(3.2.17),因为Rxx是对称的，正定或半正定的，利用它的特征值和特征向量再进一步简化，假设Rxx是NN维，它的N个特征值为：1,2,N，将Rxx进行分解，得,Rxx=QT
2、Q,=QTRxxQ,通过调节使Q归一化，即,(3.2.18),(3.2.19),(3.2.20),式中，Q称为正交矩阵或特征矩阵，qi称为特征向量，满足下式：,是由特征值组成的对角矩阵，用下式表示：,将(3.2.18)式代入(3.2.17)式，得到,令,(3.2.21),(3.2.22),(3.2.23),(3.2.24),则,(3.2.25),上式将性能函数变成了平方和的形式。观察(3.2.24)式，该式将V坐标中的Rxx的特征向量变成了V坐标中的单位向量。,(3.2.26),也就是说，qi为V坐标中的第i个单位向量，qi亦是矩阵对应于i的特征向量。,下面用二维权矢量的情况说明它的几何意义。
3、对于二维权矢量情况，有下面公式：,图 3.2.5 二维权矢量性能表面,图 3.2.6 等均方误差的椭圆曲线族,按照(3.2.17)式，有,或,当c=min时，对应椭圆的中心，V=W-W*,则相当于W坐标平移到V坐标的原点，即V坐标的原点对应W坐标的最佳点W*。这里,v1v2不是椭圆的主轴。但经过对Rxx的分解：,且V=QTV将性能函数的椭圆族(按照(3.2.25)式)变成,即,或者,显然，上式是一个椭圆方程，v1和v2是椭圆族的主轴，如果12,则v1是长轴，v2是短轴。因此(3.2.24)式起坐标旋转的作用，将v1v2旋转到主轴上，形成v1v2主轴。对于维数N2的情况，长轴对应最小特征值，按照
4、上面的椭圆方程长轴正比于；短轴对应于最大特征值，正比于。,(3.2.27),3.2.3 最陡下降法,1.最陡下降法的递推公式将(3.2.11)式代入(3.2.29)式，得到,在上式两边都减去W*,并令Vj=W j-W*,得到,Vj+1=I-2RxxVj,由于项不是对角矩阵，计算与分析均复杂。,(3.2.30),(3.2.31),(3.2.32),(3.2.29),(3.2.33),此时，项已变成对角矩阵，假设起始值是V0，可得到上式的递推解为,(3.2.34),再将(3.2.24)式代入，再经过坐标平移，即代入Vj=Wj-W*式，最后得到权系数的递推公式：,(3.2.35),上面递推公式中，部
5、分已变成对角矩阵，这使分析与研究自适应特性变得简单了。,2.收敛条件 由最陡下降法的递推公式不难分析出它的收敛条件，即当迭代次数j趋于时，权系数收敛最佳时的条件。按照上式，显然只有当,(3.2.36),(3.2.37),满足时，才能得到：。(3.2.37)式即是最陡下降法的收敛条件，式中max是Rxx的最大特征值。(3.2.36)式中的0表示0矢量。,3.过渡过程 过渡过程是指权矢量和性能函数由起始点随迭代次数的增加，进行变化的过程。权矢量的过渡过程：按照(3.2.34)式，权矢量的递推解是,第i个权系数递推方程是,(3.2.38),令,(3.2.39),将上式代入(3.2.38)式，得到,(
6、3.2.40),上式说明第i个分量v i按指数规律变化，其时常数为,i=1,2,3,N,(3.2.41),因为一般取得比较小，可以近似为,i=1,2,3,N,(3.2.42),因为,所以,再将(3.2.40)式代入，得到,(3.2.43),(3.2.44),式中,(3.2.45),上式说明第i个加权系数按照N个指数和的规律变化，由初始值收敛到最佳值，其时常数与特征值成反比。下面分析性能函数的过渡过程。按照(3.2.25)式，性能函数如下式：,(3.2.46),将(3.2.40)式代入，得到,(3.2.47),上式说明性能函数也是按N个指数和的规律变化，和加权系数过渡过程不同的是时间常数不同，它
7、的时常数为,(3.2.48),我们已经知道，性能函数和各个加权系数都是按照N个具有不同时常数的指数和的规律变化的，时常数和特征值成反比，不同的特征值对应的收敛时间是不一样的，但最终的收敛要取决于最慢的指数过程，它的时常数最大，对应最小的特征值，公式如下：,(3.2.49),(3.2.50),但为保证收敛，不能取得太大，受限于最大特征值max。这样，如果特征值比较分散时，即max和min相差很大时，使最陡下降法的收敛性能很差。下面分析值的影响。值收敛过程影响很大，首先必须选择得足够小，使之满足收敛条件：,但按照(3.2.47)、(3.2.48)式，它影响收敛速度。一般希望在保证收敛的条件下，选大一些，使时间常数小一些，收敛的速度快一些。但当选择得太大时，即使收敛条件满足，也可能形成振动性的过渡特性。在图 3.2.7 中，图(a)是较小时的情况；图(b)是较大时的情况，此时过渡过程已发生振荡。,
