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1、如同拉氏变换对于连续时间信号与系统，Z 变换在离散,时间信号与系统的分析中起着非常重要的作用。,对于连续时间信号,，其频谱为,=,若积分不存在，则,的频谱不存在，无法分析信,号，但许多有用信号的傅立叶变换的是不存在的，,例如阶跃、正（余）弦等。,为分析这类信号，借助,4.2.1.Z变换的定义,一衰减因子,4.2 序列的Z变换,频谱(f),复频谱(s),傅立叶变换,拉氏变换,推广,特例,定义,的拉氏变换,对于离散时间信号,，其频谱为,=,若级数不收敛，则,的频谱不存在。,仿照连,续时间信号复频谱分析，同样借助衰减因子,。,例如，分析阶跃序列,的频谱,若,，则级数收敛，要求,。,再如，,其频谱不存
2、在，而,若,，则级数收敛，要求,。,对于任意一个序列,定义,的Z 变换,ZT,可见，通过将序列乘以一个衰减因子，便可以,分析一些有用信号的频谱特性，但此时的频谱不仅,与数字频率 有关，且 r 与有关，构成了一个复频,域 Z域，,。,z,频谱(),复频谱(z),令,z变换存在的条件是上式的等号右边级数收敛,满足上式的z变量的取值域就称为收敛域。,单边Z变换,对于因果序列，用两种z变换定义计算出的结果是一样的。,序列傅立叶变换,推广,特例,Z 变换,单位圆上的Z变换就是序列的傅立叶变换。若某序列ZT收敛域包含单位圆，则可由二者关系式很方便的由ZT求得FT,4.2.2 Z 变换的收敛域,（1）收敛域
3、的定义,使级数,收敛的 Z平面上所有z 值的集,合，称为 Z变换的收敛域。,若级数不收敛，Z变换无意义；,若给定,地确定x(n)。,例,，必须同时给定收敛域才能唯一,序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛的一些一般关系，对使用Z变换是很有帮助的。1.有限长序列 如序列x(n)满足下式：,其Z变换为,只要有限项级数的每一项有界，级数和也就有界。而x(n)是有界的，所以收敛域只需满足，可分三种情况讨论,显然，除z取0与两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n10，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=点。具体有限长序列的收敛域
4、表示如下：,n10时，00时，0z例 4.5求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域,这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0z。但由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极零点对消，X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n)的FT，可将z=ej代入X(z)得到，其结果和例题4.2中的结果相同。,即有限长序列的Z变换收敛域为整个Z平面，但0与需单独考虑。只要有限长序列区间内包含0的n值，则收敛域不包含0。,2.右序列右序列是在nn1时，序列值不全为零，而其它nn1序列值全为0。,(2)n10,Z变换写为第一项为有限长序列，因n10,其收敛域为0|z|
5、。第二项为因果序列，其收敛域为Rx-|z|，Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx-|z|。,n1可正可负，分两种情况考虑其收敛域。,(1)n1 0，这时的右边序列就是因果序列。假设X(z)在 处绝对收敛，即 因n1 0，则 时，,中每一项皆小于(4-48)式级数中的对应项，故有n1 0时右序列的收敛域为Rx-|z|。,例 4.6求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域 解：,在收敛域中必须满足|az-1|a|。,总结：右序列收敛域位于极点限定的圆外，单独考虑。若为因果序列，则包含，若不是因果的，则不包含,如果n20，则收敛域为0|z|Rx+。,3.左序列 左序列是在n
6、n2时，序列值不全为零，而在nn1，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为,总结：左序列收敛域位于由极点限定的圆内，0点单独考虑。,例 4-7求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。,X(z)存在要求|a-1 z|1，即收敛域为|z|a|,4.双边序列一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和，其Z变换表示为,X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。如果Rx+Rx-其收敛域为Rx-|z|Rx+，这是一个环状域，如果Rx+Rx-，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，因此X(z)不存在。,总结：双边序列Z变换的收敛域为由极点限定的圆环,例 4.8 x
7、(n)=b|n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解：,如果|b|1，两部分的公共收敛域为|b|z|b|-1，其Z变换如下式：,如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。,4.2.3 逆Z变换及其求法,逆Z变换为Z 变换的逆过程，给定 X(z)及其收,敛域，求 x(n)。,正变换：,ZT x(n)=X(z),反变换：,ZT-1X(z)=x(n),1Z反变换公式,若,则,x(n)=ZT-1X(z),公式推导过程,将Z变换公式,两边同时乘以zk-1，得,按环绕原点并完全位于X(z)收敛域(Rx-，Rx+)内的围线进行围线积分，得,c为收敛区域内一环绕原点逆时针旋转的围线。如果级数收
8、敛，交换积分与求和的次序，可得,根据复变函数理论中的柯西积分定理有,(4-50),因此(4-50)式等号右边的围线积分只有当-n+k=0,即n=k时为1，对其余n均为0。所以等号右边等于x(k)，将等号左右两边k用n表示，即得逆Z变换公式,直接计算围线积分比较麻烦的，所以常用以下三种方法求逆z变换的：,幂级数展开法（长除法）部分分式展开法留数定理法,1.幂级数法(长除法)按照Z变换定义式，可以用长除法将X(z)写成幂级数形式，级数的系数就是序列x(n)。要说明的是，如果x(n)是右序列，级数应是降幂排列，展成负幂级数；如x(n)是左序列，级数则是升幂排列，展开成正幂级数。所以在展开幂级数之前应
9、考察 X(z)的收敛域，以判断对应的是左边序列还是右边序列，进而根据序列是右边序列(或左边序列)，确定应展开为z的负幂级数(或正幂级数)。例 4-9已知 用长除法求其逆Z变换x(n)。解：由收敛域判定这是一个右序列，用长除法将其展成负幂级数,例4-10 已知 求其逆Z变换x(n)。解：由收敛域判定，x(n)是左序列，用长除法将X(z)展成正幂级数,可见，采用长除法求解逆z变换的方法简单易行，但其缺点是z变换较为复杂的情况下，很难得到的封闭解形式。对于大多数单阶极点的序列，通常采用部分分式展开法求其逆z变换。,2.部分分式展开法对于大多数单阶极点的序列，常常用部分分式展开法求逆Z变换。设x(n)
10、的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考P70表4-3)求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成正式,观察上式，X(z)/z在z=0处极点的留数就是系数A0，在z=zk处极点的留数就是系数Ak。所以,将X(z)/z展开后，再将每个分式乘以z，就可将X(z)展开成,的基本形式之和，即,从而查表可得每个部分分式对应的序列，相加即得x(n)。需注意收敛域与序列的形式的关系，同一个部分分式表达式，收敛域不同，对应的序列是不同的。,例4-11已知，求逆Z变换。,解,因为收敛域为22
11、，对应右序列。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|3，对应左序列。,x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1),3留数法,利用留数定理计算围线积分,X(z)z n-1在 c 内的极点上的留数,一阶极点的留数,设 X(z)z n-1在 c 内有 N 个一阶极点,m 阶极点的留数,设 X(z)z n-1在 c内有一个 m阶极点 a,则 a上的留数为,X(z)z n-1,c 内,3.用留数定理求逆Z变换如果X(z)zn-1在围线c内的极点用zk表示，根据留数定理,式中 表示被积函数X(z)zn-1在极点z=zk的留数，逆Z变换则是围线c内所有的极点留数之和。如果zk是单阶极点，则根据留数定理
12、,如果zk是N阶极点，则根据留数定理,该式表明，对于N阶极点，需要求N-1次导数，这是比较麻烦的。如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，可以根据留数辅助定理改求c外的所有极点留数之和，使问题简单化。,将被积函数用F(z)表示。即F(z)=X(z)zn-1。设F(z)在z平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线c将z平面上极点分成两部分：一部分是c内极点，设有N1个极点，用z1k表示；另一部分是c外极点，有N2个，N=N1+N2，用z2k表示。根据留数辅助定理下式成立：,注意留数辅助定理成立的条件是F(z)的分母阶次比分子阶次必须高二阶以上。,例 已知，求其逆变换x(n)。解：该例题没有给定收敛
13、域，为求出唯一的原序列x(n)，必须先确定收敛域。分析X(z)，得到其极点分布如图所示。图中有二个极点z=a和z=a-1，这样收敛域有三种选法，它们是(1)|z|a-1|，对应的x(n)是右序列；(2)|a|z|z-1|，对应的x(n)是双边序列；(3)|z|a|，对应的x(n)是左序列。,下面按照收敛域的不同求其x(n)。(1)收敛域|z|a-1|,由收敛域可知此时序列是因果的右序列，无须求n0时的x(n)。当n0时，围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1，因此,最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。,(2)收敛域|z|a|这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况，当n0时，围线
14、积分c内没有极点，因此x(n)=0。n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和,最后将x(n)表示成 x(n)=(a-n-an)u(-n-1)(3)收敛域|a|z|a-1|这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n0和n0两情况分别求x(n)。n0时，c内极点z=a，x(n)=ResF(z),a=an,n0时，c内极点有二个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a-1，因此 x(n)=-ResF(z),a-1=a-n综合考虑两种情况，得到x(n)=a|n|,4.2.4 Z变换的定理与性质,1Z变换特性表,序列,Z变换,收敛域,线性,
15、移位,乘指数序列,X(z)的微分,x(n)的共轭,卷积,复卷积,4.2.4 Z 变换的性质和定理 Z变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。1.线性 设 X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+Y(z)=ZTy(n),Ry-|z|Ry+则 M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z),R m-|z|R m+Rm+=max Rx+,Ry+Rm-=max Rx,Ry-,这里M(z)的收敛域(Rm-，Rm+)是X(z)和Y(z)的公式收敛域，如果没有公共收敛域，例如当 R x+R x-R y+R y-时，则M(z)不存在。,3.乘以指数序列 设 X(z)=ZTx(n),R x-|z|R x+y
16、(n)=anx(n),a为常数 则 Y(z)=ZTanx(n)=X(a-1 z)|a|R x-|z|a|R x+,证明,因为Rx-|a-1 z|Rx+，得到|a|Rx-|z|a|Rx+。,2.序列的移位 设X(z)=ZTx(n),R x-|z|R x+则ZTx(n+n0)=zn0X(z),R x-|z|R x+,4.序列乘以n设,则,证明,5.复序列的共轭 设X(z)=ZTx(n),(Rx-,Rx+),则,证明,6.初值定理 设 x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n)，则,证明,所以,初值定理说明，对于因果序列，由 X(z)可求得序列的初值。,7.终值定理 若x(n)是因果序列，其Z变换的
17、极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则,由移位特性 可知，ZTx(n+1)=zX(z),所以,因为x(n)是因果序列，,因为(z-1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限,终值定理也可用X(z)在z=1点的留数表示，因为,因此如果单位圆上，X(z)无极点，则x()=0。,8.序列卷积 设,则,证明,W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。,9.复卷积定理如果 ZTx(n)=X(z)，R x-|z|R x+ZTy(n)=Y(z),R y-|z|R y+w(n)=x(n)y(n)则,W(z)的收敛域,v平面上，被积函数的收敛域为,证明,由X(z)收敛
18、域和Y(z)的收敛域，得到,10.帕斯维尔(Parseval)定理 利用复卷积定理可以证明怕斯维尔定理。,那么,v平面上，c所在的收敛域为,证明：令 w(n)=x(n)y*(n)，由Z变换中复序列的共轭性质，可知，ZTy*(n)=Y*(z*),再由复卷积定理，若w(n)=x(n)y(n),则,按照(4-64)式，z平面收敛域为R x-R y-|z|R x+R y+，按照假设，z=1在收敛域中，令z=1代入W(z)中。,所以，w(n)=x(n)y*(n)时，,4.2.5 利用Z变换解差分方程 在第3章中介绍了差分方程的递推解法，下面介绍Z变换解法。这种方法将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单
19、。设N阶线性常系数差方程为,(4-67),根据输入序列x(n)的输入时刻不同，方程求解有两种情况，稳态解和暂态解。1.求稳态解 如果输入序列x(n)是在n=0以前时加上的，n时刻的y(n)是稳态解，对(4-67)式求Z变换，此时利用双边Z变换的线性与移位特性ZTx(n-n0)=z-n0X(z),得到,式中,(4-68),2.求暂态解 对于N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件。设x(n)是因果序列，即x(n)=0,n0，已知初始条件y(-1),y(-2)y(-N)。对(2.5.30)式进行Z变换时，注意这里要用单边Z变换。方程式的右边由于x(n)是因果序列，单边Z变换与双边Z变换是相同的。
20、下面先求移位序列的单边Z变换。设,则,即移位序列单边Z变换为,对(4-67)差分方程做Z变换,等号左边进行单边Z变换，右边因x(n)为因果序列，所以单双边Z变换相同，ZTx(n-k)=z-kX(z),因此对上式差分方程做Z变换得,该式右边第一部分与初始状态无关，称为零状态解；第二部分与输入信号无关，称为零输入解，两部分合起来构成方程的全解。,例4-12已知差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)，式中x(n)=anu(n),y(-1)=2，求y(n)。解：将已知差分方程进行Z变换,式中，,于是,收敛域为,1 传输函数与系统函数 设系统初始状态为零，输入为单位脉冲序列(n)时系统的响应，称为系
21、统的单位脉中响应h(n)，即 h(n)=T(n),对h(n)进行傅里叶变换得到H(e j)，为系统的传输函数，它表征系统的频率特性。,利用Z变换分析信号与系统的频率特性,若对h(n)进行Z变换得到H(z)，称H(z)为系统的系统函数，它表征系统的复频域特性。因y(n)=x(n)*h(n),所以,如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(e j)与H(z)之间关系如下式：,h(n)表示系统的时域特性；H(e j)表示系统的频域特性，是h(n)的傅氏变换；H(z)表示系统的复频域特性，是h(n)的Z变换。,2 用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性(1)因果(可实现)系统其单位脉响应h(
22、n)一定满足当n0时，h(n)=0，那么因果系统的系统函数H(z)的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。(2)判断稳定性：,成立的z的取值范围，而系统稳定要求,(3)如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，H(z)极点全部位于单位圆内，收敛域可表示为 r|z|，0r1,系统函数,其收敛域为使,所以系统稳定要求收敛域包含单位圆。,2.6.3 系统函数与单位脉冲响应的关系,脉冲响应 h(n),系统函数 H(z),z,z-1,（1）因果系统,线性移不变系统因果的充要条件为,则系统函数,收敛域为,（2）稳定系统,线性移不变系统稳定的充要条件为,而,稳定系统的收敛域应包含单位圆（）。,（3）因果稳定系统,X(z)的收敛域为,已知 分析其因果性和稳定性.解：H(z)的极点为z=a，z=a-1。(1)收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)，这是一个因果序列，但不收敛。(2)收敛域0|z|a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)，这是一个非因果且不收敛的序列。,(3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列,
