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1、第12章 参数模型功率谱估计,12.1 平稳随机信号的参数模型12.2 AR模型的正则方程与参数计算12.3 AR模型谱估计的性质与阶次选择12.4 AR模型的稳定性与信号建模12.5 关于线性预测12.6 AR模型系数的求解算法12.7 MA模型12.8 ARMA模型12.9 Pisarenko谐波分解与MUSIC 算法,12.1 平稳随机信号的参数模型,经典谱估计：分辨率低（受窗函数长度的限制）;方差性能不好；方差和分辨率之间的矛盾。,对平稳信号建模:用于功率谱估计:提高分辨率，减小方差；也可用于信号的特征提取，预测，编码及 数据压缩 等。,步骤2,由 的先验知识，如,估计 的参数：,步骤
2、1,假定所研究的平稳过程 是由一白噪声序列 激励一线性系统所产生的输出；,从功率谱估计的角度，对平稳信号建模的步骤：,即是对 建立的数学模型。,参数,一旦上述系数被求出，则：,LSI系统的输入、输出关系：,以上两式是LSI系统的时域表示，无论对确定性信号还是随机信号都成立。现假定输入、输出是平稳随机信号（输入是白噪声）。,差分方程,转移函数的两种表示形式，独立于信号。,AR（AutoRegressive，自回归）模型,若：,并假定：,则：,MA（MovingAverage,移动平均）模型,若：,则：,全零点模型,ARMA（Auto-Regressive Moving-Average,自回归移动
3、平均）模型,极零模型ARMA模型,如果：,不全为零,则：,AR模型:全极模型，线性，用的最多，被研究的也最多，性能很好；,MA模型：全零模型，看起来简单；但是非线性；,ARMA模型：极零模型，二者的综合。,具体选用那一个模型，一是取决于信号的特点，二是取决于信号处理任务的需要，需区别对待。,Kay S M,Marple S L.Spectrum Analysis:a modern Perspective.Proc.IEEE,69(Nov):1380-1419,1981Makhoul J.Linear Prediction:a tutorial review.Proc.IEEE,62(April
4、):561-580,1975Kay S M.Modern Spectrum Estimation:Theory and Application.19884 Marple S L.Digital Spectrum Analysis with Application.1987,推荐如下参考文献：,12.2 AR模型的正则方程与参数计算,目标：找到已知参数和未知参数的关系，以便求解未知参数：,已知参数：,求解方法：由下面的差分方程入手：,两边同乘，求均值,未知参数：,结果1：,结果2：,利用Yule-Walker 方程，可求解出AR模型参数：,于是模型可以构造，可以实现功率谱估计。,为了深入了解AR
5、模型的特点，现探讨另外一个问题，即线性预测问题：,令：,可以得到使 最小的 及。,不求导，使用正交原理：,：最小预测误差功率,线性预测的Wiener-Hopf Eq.,注意到：对同一信号，都使用其,得到了两组方程：,来自AR模型：Yule-Walk 方程,来自LP：Wiener-Hopf 方程,结论：对同一信号，二者是相同的，即,一个 p 阶AR模型的系数可用来构成一个 p 阶的线性预测器，反之亦然。并且：,由于,所以,等效的概念,应等于AR模型激励白噪声的功率。,由LP的含意，因此AR模型也可以看作是在 最小平方意义上对数的拟合；,上面等效的含意是：,由于LP包含了对数据的外推，因此，对应的
6、 谱估计所用数据的范围比实际的应有扩展，因此可以提高分辨率。,线性预测器的误差序列等效于激励AR模型 的白噪声序列；,Yule-Walker 方程的快速计算 Levinson-Durbin快速算法：,反射系数,要求解的参数：,？,零阶预测器的误差等于信号的功率,递推公式,P 阶AR模型（LP）有三组参数：,可互相导出，请给出它们互相导出的公式。,都是 p+1 个,基于AR模型谱估计的实现：,由 估计,步骤1,步骤2,解Yule-walker方程，得估计的模型参数,步骤3,离散谱，用FFT计算,实际计算：,12.3 AR模型谱估计的性质,1.AR谱的平滑特性,AR模型是一有理分式，估计出的谱平滑
7、，不需要像周期图那样再做平滑或平均，因此，不需要为此去牺牲分辨率。,2.AR谱的分辨率,分辨率反比于 N，即,AR模型包含了对 的“预测”或“外推”。实际上，这包含着自相关函数的“外推”。令：,可以证明：,证明：,由,两边做DTFT反变换：,左边,右边,有：,外推后的 对应AR谱，因此AR谱有较高的分辨率。而经典谱估计中无外推，即：,分辨率低,注意到AR模型自相关函数的匹配：,设想：如果阶次,则AR谱对应的自相关函数完全等于信号的自相关函数，AR谱等于真谱。,（b)p=10;(c)p=20;(d)p=30,最大熵谱估计:Burg 于 1975年博士论文。Maximum Entropy Spec
8、tral Estimation，MESE）,关于熵：,设信源由 这 M 个 事件组成：产生 的概率是,的信息量：,熵,Burg最大熵谱估计的思路是：,已知某随机信号自相关函数 的 个值，现希望以这 个值对 的自相关函数予以外推。外推的方法很多，Burg的准则是：外推后的自相关函数对应的时间序列具有最大的熵，即是最随机的。,最大熵功率谱,3.AR模型谱的匹配性质,若用AR谱去匹配信号的谱，则误差系列的谱应由常数谱来匹配，体现 的白化性质。,给定平稳信号 的功率谱，希望用一模型的谱来匹配它，匹配的原则是使二者比值的积分最小。,当,有：,AR模型自相关函数匹配性质,所以，理论上：我们可用一个全极点模
9、型来近似已知谱，达到任意精度。,由：,增加，等效地扩大了 相等的部分,在 内紧随,（1）全局跟随性质（global),总效果：紧随 的峰值,紧跟 谱的峰值,4.AR谱的统计性质,AR谱估计的方差反比于 的长度N和SNR,AR谱变为ARMA谱，既有极点，又有零点，分辨率会有下降。,AR 模型阶次p的选择,Levinson递推给出：,（1）最终预测误差准则,（2）信息论准则,递减、恒正,12.4 AR模型的稳定性,为什么有稳定性问题？,第10章已证明：,由线性方程组的克莱姆法则，必然是唯一的。关键是证明其最小相位性质。,对 阶模型，预测误差功率 应为最小。若 有一零点在单位圆外，将其反射到单位圆内
10、，如果 进一步减小。这就说明原来的 不是最佳的。也即，只有最小相位的 才能构成最优的 阶线性预测器。,令：,代入：,式中：,所以整个积分不为零。由此，不是最佳 的 阶预测器。,令：,但是：,我们证明过 是非负定的，但结论1要求 是正定的。,何时，何时,结论2,？,纯线谱,证明：,标量情况,向量情况,假定：,有非零解：,则：,又：,第一点得证,由线性方程组理论，必有：,必不全为零，,有非零解,请自己证明,即：,第二点：,若 由 个正弦组成，又称纯谐波过程，则 是完全可预测的，即可以做到：,结论 2 和 3 对信号建模有着重要的指导作用。对 个复正弦，其自相关矩阵的秩为，因此模型的阶次最大只能为，
11、否则，将出现矩阵奇异的现象，当然，所求出的模型是不稳定的。对纯正弦建模时，一般要人为的加入一些噪声，防止自相关阵奇异。,结论3,关于信号建模本质的讨论,用白噪声 激励一个线性系统，真的能产生我们所研究的随机信号,或者：,?,?,并没讨论过时域信号的匹配性质，即：,我们介绍过AR模型的：（1）自相关函数的匹配性质：,（2）功率谱的匹配性质,实际上，我们无法要求：,因此，我们讨论过的信号建模是在二阶统计意义上的建模，要求的是自相关函数和功率谱这些二阶统计量的匹配。,而只能做到：,定义：若平稳过程 存在 阶模型，使得模型的输出 和 在 阶统计意义上一致，则称 可在 阶统计意义上准确建模。,是 在 阶
12、统计意义上准确模型；,即是自相关和功率谱匹配；,实际上，我们可以在其它阶次的统计量上建模。阶次大于 2 的谱称为“多谱（Polyspectrum)。三阶谱定义为:,三阶谱又称“双谱（Bispectrum)”,对应的相关函数又称三阶相关：,阶次大于2的统计分析，称为“高阶谱分析（High-Order Spectral Analysis)”,MATLAB中有专门的工具箱。,Wold分解定理：,任一平稳过程 均可作如下分解：,1.是一规则过程（平稳，连续谱）,是一纯正弦过程，二者不相关;,这一分解的含义是：任一宽平稳过程的功率谱都可表为一连续谱和一线谱的和：,Wold 分解定理是平稳过程的一个基本定理。可用于不同模型之间的等效。如 可由一 p 阶AR模型来产生，所以，一个 p 阶AR模型可由一无穷阶的MA模型来等效，反之亦然。这为建模及模型求解提供了方便。,
