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1、数字信号处理Digital Signal Processing,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器（时域方法）,如果希望得到的滤波器的理想频率响应为，那么 FIR滤波器的设计就在于寻找一个频率响应 去逼近，逼近方法有三种：窗口设计法（时域逼近）频率采样法（频域逼近）最优化设计（等波纹逼近）,时间窗函数设计法是从单位脉冲响应序列着手，使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。我们知道hd(n)可以从理想频响通过傅氏反变换获得：,但理想频响 是分段恒定，在边界频率处有突变点，这样得到的理想单位脉冲响应hd(n)是无限长序列，而且是非因果的。,FIR的h(n)是有限长的，问题是怎样用一个有限
2、长的序列去近似无限长的hd(n)。最简单的办法是直接截取一段hd(n)代替 h(n)。这种截取可以形象地想象为h(n)是通过一个“窗口”所看到的一段hd(n)，因此，h(n)也可表达为hd(n)和一个“窗函数”的乘积，即 h(n)=w(n)hd(n)在这里窗口函数就是矩形脉冲函数RN(n)，为了改善所设计滤波器的特性，窗函数还可以有其它的形式。,设计步骤：设计FIR滤波器就是根据要求，找到有限个傅里叶级数系数，以有限项傅立叶级数去近似代替无限项傅里叶级数。窗函数法也称傅里叶级数法。,为理想低通滤波器的传输函数。,则滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性与窗函数的幅度特性的卷积。,如果对截
3、取后的信号进行傅里叶变换，假设采用矩形窗截取，对截取后信号进行傅里叶变换得：,线性相位,后面有证明,频域卷积定理,一.矩形窗口法,：低通滤波器的延时,以一个截止频率为 的线性相位理想低通滤波器为例,讨论FIR的设计问题。1.对于给定的理想低通滤波器，计算,hd(n)的最大值是多少？,其中,2.计算,3.计算,4.加窗后的截断效应,把理想频响写成幅度函数和相位函数的表示形式 其中幅度函数为,两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有,则实际FIR滤波器的幅度函数H()为正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。,取样函数,矩形窗,矩形窗的卷积过程（P95的图4.5来说明）,课本P205图,H
4、(0),0.5H(0),H()max,H()min,4 个特殊频率点看卷积结果：,（2）=c时，仅一半波形重叠，H(c)=0.5 H(0)；（3）=c 2/N时，主瓣完全在-c,c内，最大 的第一旁瓣（负数）在通带外，在该点 H()出 现正肩峰；（4）=c+2/N 时，主瓣完全在-c,c 外，最 大的第一旁瓣（负数）完全在通带-c,c 内，出现负肩峰。,窗口函数对理想特性的影响：改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为，等于WR()的主瓣宽度。（决定于窗长）过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于 WR()的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强，与 N无关。（决定于窗口形状）
5、,N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。因主瓣附近 其中x=N/2,所以N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，当N增加时，H()的波动幅度没有多大改善，使阻带衰减只有21dB（图）,这种现象称为吉布斯（Gibbs）效应(截断效应）。,肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响。,改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有许多种，但要尽量满足以下两点要求：窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换
6、取对旁瓣的抑制。,2.三角形窗（Bartlett Window）,其频率响应为：,主瓣宽度为，第一旁瓣比主瓣低 26dB，过渡带宽为。,几种常用的窗函数：1.矩形窗，上面已讲过，不再细述。,3.汉宁窗（升余弦窗）利用傅氏变换的移位特性，汉宁窗频谱的幅度函数 可用矩形窗的幅度函数表示为：,三部分相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加1倍，为。第一旁瓣比主瓣低31dB，过渡带宽度。,4.哈明窗（改进的升余弦窗）其频谱函数为：其幅度函数为：,它是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在窗谱的主瓣内。第一旁瓣比主瓣峰值低 41dB，
7、主瓣宽度为。过渡带宽度为。,其频域函数为：,5.布莱克曼窗（三阶升余弦窗）,幅度函数由五部分组成，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加为。增加N可减少过渡带。主瓣宽度为，过渡带宽度为，第一旁瓣比主瓣低57dB。,常用窗函数的幅度特性 N=51，A=20lg|W()/W(0)|,四种窗函数的比较,图7.2.5,6.凯塞窗 以上几种窗函数，都是以增加主瓣宽度为代价来降低旁瓣。凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。,，式中,=5.44 接近汉明；=8.5 接近布莱克曼；=0 为矩形窗。,参数 可自由选择，决定主瓣宽度与旁瓣衰减。越大，w(n)窗越窄，其频谱的主瓣变宽，旁瓣变小。一般取 4 9。,I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可表示为,凯塞窗的幅度函数为：,图1 零阶修正贝塞尔函数,I0(x),x,0,1,窗函数法的主要工作是计算hd(n)和w(n)的选取。用窗函数进行FIR设计的步骤：(1)确定待求滤波器的理想单位脉冲取样响应hd(n)；(2)根据过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形状；(3)估计窗长N(4)确定(5)计算，验证是否满足指标。,过度带宽,A取决于窗的形状，如矩形窗，哈明窗 等。,主瓣带宽,窗函数法的优缺点：优点：设计简单，使用方便。缺点若 不能用简单的函数表示，则很难求出；窗函数法很难精确控制滤波器的通带和阻带及边界频率。P212例7.2.1,
