数字电路与EDA技术.ppt

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1、数字电路与EDA技术,使用教材：潘松 黄继业 EDA技术实用教程（第三版）北京 科学出版社 2007 参考书目：刘昌华 数字逻辑EDA设计与实践 国防工业出版社 阎石.数字电子技术基础（第五版）.高等教育出版社 2006.5 王毓银主编，数字电路逻辑设计，高等教育出版社，1999；,考核方式：期末考试时间为120分钟，闭卷，具体考试时间至少提前1周通知学生。成绩评定：平时10，实验30，期末考试60,逻辑代数基础,2.1 数字电路的基础知识2.2 逻辑代数及其运算规则2.3 逻辑函数表示方法2.4 逻辑函数的化简,在数字电路中，主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，因此数字电路又称逻辑电路

2、，其研究工具是逻辑代数（布尔代数或开关代数）。,逻辑变量：用字母表示，取值只有0和1。此时，0和1不再表示数量的大小，只代表两种不同的状态。,2.1 概述,一、与逻辑（与运算）,例：开关A，B串联控制灯泡Y,A、B都断开，灯不亮。,A断开、B接通，灯不亮。,A接通、B断开，灯不亮。,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,功能表,将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：,真值表,两个开关均接通时，灯才会亮。逻辑表达式为：,实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号：,二、或逻辑（或运算）,两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：,功能表,真值表,

3、+,实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号：,Y=A+B,三、非逻辑（非运算）,功能表,真值表,实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号：,YA,常用的逻辑运算,1、与非运算：逻辑表达式为：,2、或非运算：逻辑表达式为：,3、异或运算：逻辑表达式为：,异或逻辑的运算规则：,00=,0,01=,1,10=,1,0,11=,A0=,A1=,AA=,AA=,A,A,1,0,4、同或运算：逻辑表达式为：,AB,异或和同或互为反运算,同或逻辑的运算规则：,0 0=,1,0 1=,0,1 0=,0,1,1 1=,A 0=,A 1=,A A=,A A=,A,A,1,0,5、与或非运算：逻辑表达式为：,2.

4、3 逻辑代数的基本公式和常用公式,一、基本公式,请特别注意与普通代数不同之处,1.常量之间的关系,2.基本公式,分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。,亦称 非非律,3.基本定理,利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证明AB=BA：,求证:（17式）A+BC=(A+B)(A+C),证明:,右边=(A+B)(A+C),=AA+AB+AC+BC,=A+A(B+C)+BC,=A(1+B+C)+BC,=A 1+BC,=A+BC,=左边,课本上用真值表证明,二、常用公式,1.A+AB=,A(A+B)=A(A+B)=,A,A+BA+B,ABAB,证明:,A+AB=(A+A)(A+B)

5、;分配律=1(A+B)=A+B,A+BC=(A+B)(A+C),3.AB+AB=,4.A(A+B)=,证明:A(A+B)=AA+AB=A+AB=A(1+B)=A,(A+B)(A+B)=,注:红色变量被吸收掉！也称 吸收律,A,A,A,5.AB+AC+BC=,证明:,AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC,AB+AC+BCD=,AB+AC,AB+AC,冗余定律或多余项定理或包含律,(A+B)(A+C)(B+C)=,(A+B)(A+C),(A+B)(A+C)(B+C+D)=,(A+B)(A+C),冗余定律或多余项定理的其

6、他形式,同理：此多余项可以扩展成其他形式,证明:,A(AB)=A(A+B)=AA+AB=AB,A(AB)=A(A+B)=AA+AB=A(1+B)=A,AB,A,一、代入定理,任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入定理。,例如，已知等式，用函数Y=BC代替等式中的B，根据代入定理，等式仍然成立，即有：,2.4 逻辑代数的基本定理,二、反演定理,对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称

7、补函数）。这个规则称为反演定理。,应用反演定理应注意两点：,1、保持原来的运算优先顺序，即如果在原函数表 达式中，AB之间先运算，再和其它变量进行 运算，那么非函数的表达式中，仍然是AB之 间先运算。2、不属于单个变量上的反号应保留不变。,三、对偶定理,对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式 YD,YD称为Y的对偶式。,对偶定理：如果两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。,利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。,（2）式,（12）式,2.5 逻辑函数及其表示方法,

8、一、逻辑函数,如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。输出与输入之间的函数关系称为逻辑函数。Y=F(A,B,C,),二、逻辑函数表示方法,常用逻辑函数的表示方法有：逻辑真值表（真值表）、逻辑函数式（逻辑式或函数式）、逻辑图、波形图、卡诺图及硬件描述语言。它们之间可以相互转换。,例：一举重裁判电路,设A、B、C为1表示开关闭合，0表示开关断开；Y为1表示灯亮，为0表示灯暗。得到函数表示形式：,真值表,函数式,逻辑图,波形图,真值表：将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。,一输入变量，二种组合,二输入变量，四种组合,三输入变量，八种组合,四输

9、入变量，16种组合,请注意,n个变量可以有2n个组合，一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。,逻辑函数式,把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式，又称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。,比如：,逻辑图：,把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。,各种表示方法之间的相互转换,1、真值表逻辑函数式,方法:将真值表中为1的项相加,写成“与或式”。,2、逻辑式真值表,方法:将输入变量取值的所有组合状态逐一带入逻辑式求函数值,列成表即得真值表。,例2.5.2,0,1,1,1,1,1,1,0,3、逻辑式逻辑图,方法:用图形符号代替逻辑式中的

10、运算符号,就可以画出逻辑图.,例2.5.3,4、逻辑图逻辑式,方法:从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即得到对应的逻辑函数式.,5、波形图真值表,0,1,1,0,0,1,0,1,最小项:,在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在m 中出现，且仅出现一次，则这个乘积项m称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。,3个变量A、B、C可组成 8(23)个最小项：,4个变量可组成 16(24)个最小项,记作m0m15。,三、逻辑函数的两种标准形式,若两个最小项仅有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性。例：和，这两个最小项相加时能合并，

11、并可消去1个因子。,最小项的性质:,任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。,任意两个不同的最小项的乘积必为0。,全部最小项的和必为1。,具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。,只有一个因子不同的两个最小项是具有相邻性的最小项。,例如:,将它们合并，可消去因子:,=BC,ABC 和 ABC 具有逻辑相邻性。,ABC+ABC=,(A+A)BC,任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。,逻辑函数的最小项表达式,对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式AA1 和A(B+C)ABAC来配项展开成最小项表达式。,例,如果列出了函数的真值

12、表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。,在n变量逻辑函数中，若M为包含n个因子的和项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在M 中出现，且仅出现一次，则这个和项M称为该函数的一个标准和项，通常称为最大项。n个变量有2n个最大项，记作i最大项的性质：在输入变量的任何取值下必有一个最大项且仅有一个最大项的值为0；全体最大项之积为0；即 任意两个最大项之和为1；只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。,最大项:,例:写出函数 Y=A(B+C)的标准或与表达式。解:,Y=A(B+C)=(A+BB+CC)(AA+B+C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C

13、)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C),最小项与最大项的关系,相同编号的最小项和最大项存在互补关系,即:,mi=,Mi=,若干个最小项之和表示的表达式Y，其反函数Y可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。,=,=,四、逻辑函数形式的变换,根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图，表达式的形式决定门电路的个数和种类。在用电子器件组成实际的逻辑电路时，由于选择不同逻辑功能类型的器件，因此需要将逻辑函数式变换成相应的形式。,1、最简与或表达式,最简与或表达式,与门的输入端个数少,2、最简与非-与非表达式,在最简与或表达式

14、的基础上两次取反,用摩根定律去掉内层的非号,3、最简或与表达式,求出反函数的最简与或表达式,利用反演规则写出函数的最简或与表达式,4、最简或非-或非表达式,求最简或与表达式,两次取反,用摩根定律去掉内部的非号,、最简与或非表达式,求最简或非-或非表达式,用摩根定律去掉内部非号。,方法一：,求出反函数的最简与或表达式,求反，得到最简与或非表达式,方法二：,2.6 逻辑函数的化简方法,一、公式化简法,并项法：,吸收法：,A+AB=A,消项法：,消因子法：,配项法：,例 试用并项法化简下列函数,=B,例 试用吸收法化简下列函数,=A+BC,例 用消项法化简下列函数,例 用消因子法化简下列函数,例 化

15、简函数,解：,;A+AA,例2.6.6 化简函数,解：,;A+A1,例 化简函数,解二：,;消去，消去,解三：,;消去,消去,;增加冗余项,;增加冗余项,例 化简逻辑函数,解：,吸收法,逻辑函数的卡诺图表示法,将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。,卡诺图的定义：,二、卡诺图化简法,逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。,卡诺图的表示：,1、一变量全部最小项的卡诺图,一变量Y=F（A），,Y,A,0,1,A,Y,A,0,1,m0,m1,全部最小项：,A，,A,卡诺图：,下面我

16、们根据逻辑函数变量数目的不同分别介绍一下：,A,A,B,Y,0,1,0,1,m0,m1,m2,m3,Y,AB,00,01,11,10,A B,AB,AB,A B,00,01,11,10,m0,m1,m3,m2,Y,A,BC,0,1,00,01,11,10,m0,m1,m4,m5,m3,m2,m7,m6,2、二变量全部最小项的卡诺图,Y=F（A、B）,Y,AB,C,00,01,11,10,0,1,m0,m1,m4,m5,m3,m2,m7,m6,3、三变量全部最小项的卡诺图,Y=F（A、B、C）,Y,AB,CD,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m1,m4,m5,m3,m2,m

17、7,m6,m12,m13,m8,m9,m15,m14,m11,m10,Y,ABC,D,000,001,011,010,100,101,111,110,0,1,m0,m1,m3,m2,m4,m5,m7,m6,m8,m9,m11,m10,m12,m13,m15,m14,4、四变量全部最小项的卡诺图,Y=F（A、B、C、D）,注意：,左右、上下；,在卡诺图中，,每一行的首尾；,每一列的首尾；,的最小项都是逻辑相邻的。,Y=AC+AC+BC+BC,卡诺图：,1,1,1,1,1,1,0,0,A(B+B)C+,(A+A)BC,Y=A(B+B)C+,(A+A)BC+,1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。

18、,2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应 的方格中填 1，其余方格中填 0。,方法一：,解：,对于AC有：,对于AC有：,对于BC有：,对于BC有：,根据函数式直接填卡诺图,方法二：,1,1,1,1,1,0,0,1,1,例：,用卡诺图表示之。,1,用卡诺图表示逻辑函数：,用卡诺图表示逻辑函数：,例 用卡诺图表示逻辑函数,解：将Y化为最小项之和的形式,m1+m4+m6+m8+m9+m10+m11+m15,1,例 已知逻辑函数的卡诺图,试写出该函数的逻辑式,化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。,化简规则：能够合并在一起的最小项是2 n 个,如何最简：圈的数目越少越简；圈内的最小项越多

19、越简。,特别注意：卡诺图中所有的 1 都必须圈到，不能合并的 1 必须单独画 圈。,上两式的内容不相同，但函数值一定相同。,Y1=,BC,+,Y1=,将Y1=AC+AC+BC+BC 化简为最简与或式。,此例说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。,例：,（画矩形圈）。,用卡诺图化简逻辑函数,用卡诺图化简逻辑函数,合并最小项的原则,（1）任何两个（21个）相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。,合并最小项的原则,（2）任何4个（22个）相邻的最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。,此例说明，为了使化简结果最简，可以重复利用最小项,合并最小项的原则,（3）任何8个（23个）相邻最小项，可以合

20、并为一项，并消去3个变量。,合并最小项的原则,利用 AB+AB=A2个最小项合并，消去1个变量；4个最小项合并，消去2个变量；8个最小项合并，消去3个变量；2n个最小项合并，消去n个变量；,卡诺图化简法的步骤,画出变量的卡诺图;作出函数的卡诺图;画圈;写出最简与或表达式。,画圈的原则,合并个数为2n；圈尽可能大-乘积项中含因子数最少；圈尽可能少-乘积项个数最少；每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次，以免出现多余项。,例 用卡诺图将下式化简为最简与或函数式,1,1,Y,Y,例 用卡诺图将下式化简为最简与或函数式,Y,Y,2.7 具有无关项的逻辑函数化简,约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项,无

21、关 项,约束项:当限制某些输入变量的取值不能出现时，用它们对应的最小项恒等于0来表示。,任意项:在输入变量的某些取值下函数值是1还是0皆可，并不影响电路的功能。在这些变量的取值下，其值等于1的那些最小项称为任意项。,在卡诺图中用符号“”、“”或“d”表示无关项。在化简函数时即可以认为它是1，也可以认为它是0。,例 化简逻辑函数,已知约束条件为,例2 判断一位十进制数是否为偶数。,输入变量A，B，C，D取值为00001001时，逻辑函数Y有确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0。,无关项：,不利用无关项的化简结果为：,利用无关项的化简结果为：,逻辑函数化简小结,逻辑函数的化简有公式法和图形法

22、等。公式法是利用逻辑代数的公式、定理和规则来对逻辑函数化简，这种方法适用于各种复杂的逻辑函数，但需要熟练地运用公式和定理，且具有一定的运算技巧。图形法就是利用函数的卡诺图来对逻辑函数化简，这种方法简单直观，容易掌握，但变量太多时卡诺图太复杂，图形法已不适用。在对逻辑函数化简时，充分利用无关项可以得到十分简单的结果。,把输入、输出变量所有相互对应的逻辑值（状态）列在一个表格内，这种表格称为逻辑函数真值表，简称真值表。,返回,P58题2.2（4）,找出真值表中使逻辑函数Y=1的那些输入变量取值的组合,P59表P2.3（b）,ABCD,ABCD,ABCD,ABCD,ABCD,ABCD,ABCD,ABCD,P60题2.5（2）,1,1,1,1,1,1,1,