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1、圆的基本性质 复习课,知识体系,圆,基本性质,概念,对称性,垂径定理,圆心角、弧、弦之间的关系定理,圆周角与圆心角的关系,弧长、扇形面积和圆锥的侧面积相关计算,要点、考点聚焦,1.本课时重点是垂径定理及其推论，圆心角、圆周角、弦心距、弧之间的关系.,2.圆的定义(1)是通过旋转.(2)是到定点的距离等于定长的点的集合.,3.点和圆的位置关系(圆心到点的距离为d)(1)点在圆上d=r.(2)点在圆内dr.(3)点在圆外dr.,4.与圆有关的概念(1)弦：连结圆上任意两点的线段.(2)直径：经过圆心的弦.(3)弧：圆上任意两点间的部分.(4)优弧：劣弧、半圆.(5)等弧：在同圆或等圆中，能够完全重
2、合的孤.(6)圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交.(7)圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交.(8)三角形外心及性质.,要点、考点聚焦,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦 所对的两条弧.,推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧.推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧.推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并平分弦所对的另一条弧.,5.有关定理及推论(1)定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.(2)垂径定理及其推论.,要点、考点聚焦,圆的定义（运动观点）,在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所
3、形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O”,圆的定义辨析,篮球是圆吗？圆必须在一个平面内以3cm为半径画圆，能画多少个？以点O为圆心画圆，能画多少个？由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置圆是“圆周”还是“圆面”？圆是一条封闭曲线圆周上的点与圆心有什么关系？,点与圆的位置关系,圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？,如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：点在圆
4、上 d=r 点在圆内 dr,圆的有关性质,过三点的圆,思考：确定一条直线的条件是什么？类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？讨论：经过一个点，能作出多少个圆？经过两个点，如何作圆，能作多少个？经过三个点，如何作圆，能作多少个？,经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。,问题1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？问题2：三角形的外心一定 在三角形内吗？,C90,ABC是锐角三角形,ABC是钝角三角形,垂直于弦的直径,及其推论,从特殊到一般,想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？性质：圆是轴对称图形，任何一
5、条直径所在的直线都是它的对称轴。,观察右图，有什么等量关系？,垂直于弦的直径,AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC，弧AC弧BD。,AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC=弧AC弧BD。,AO=BO=CO=DO，弧AD弧BD，弧AC弧BC,AEBE。,垂径定理,垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,判断下列图形，能否使用垂径定理？,注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！,定理辨析,练习,若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？,变式1：AC、BD有什么关系？,变式2：ACBD依然成立吗？,变式3：EA_,EC=_。,OA=O
6、B,OC=OD,变式练习,如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径。,辅助线,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。,推论1,如图，CD为O的直径，ABCD，EFCD，你能得到什么结论？,推论2,弧AE弧BF,圆的两条平行弦所夹的弧相等。,圆的性质,圆是轴对称图形，每一条直径所在的直
7、线都是对称轴。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。,圆心角：顶点在圆心的角。（如：AOB）,弦心距：从圆心到弦的距离。（如：OC）,相关定义,圆心角所对的弧相等，圆心角所对的弦相等，圆心角所对弦的弦心距相等。,推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。,在同圆或等圆中(前提),圆心角相等（条件）,定理推论,圆心角：如BOA,圆内角：如BCA,圆周角：如BDA,圆外角：如BFA,角的顶点在圆心,角的顶点在圆周上是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢?,动起
8、来!,圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。圆心角:顶点在圆心的角.,看清要点,推论,定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。,弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？什么时候圆周角是直角？反过来呢？直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？,推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。,思考：1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。,推论2半圆（或直径）所对的圆周角是90；90的圆周角所对的弦是直径。,推论3如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。,什么时候圆周角是直角？反过来呢？直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？,弧长与扇形的面积:,如果用字母S表示扇形的面积，n表示所求面积的扇形的圆心角的度数，r表示圆的半径，那么扇形的面积计算公式是,（1）,（2）,圆锥的侧面积和全面积:S侧=,S全=,小结和同步作业:,P89-93:目标与评定,
