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1、数学建模讲义第4章 线性规划模型,-基本模型,1 优化模型,优化：在一定条件下，使目标最大的决策。优化问题是经常遇到的问题，如：结构设计，资源分配，生产计划，运输方案等。全国大学生数模竞赛题一半以上与优化有关，并且需用软件求解。,无约束优化,给定一个函数f(x)，寻找x使得f(x)最小，其中x=(x1,x2,xn)。,最优值出现在定义区间端点，不可导点，稳定点。,有约束优化,如果f(x)和hi(x)可导，则可以用拉格朗日方法化为无约束优化问题：,规划问题,最优解在定义域的边界上达到。线性规划：目标和约束均为线性函数。非线性规划：目标和约束存在非线性函数。二次规划：目标为二次函数，约束为线性整数
2、规划：决策变量为整数。0-1规划：决策变量只为0或者是1,50桶牛奶,时间480小时,至多加工100公斤A1,制订生产计划，使每天获利最大,35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?,可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?,A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？,每天：,例：加工奶制品的生产计划,x1桶牛奶生产A1,x2桶牛奶生产A2,获利 243x1,获利 164 x2,原料供应,劳动时间,加工能力,决策变量,目标函数,每天获利,约束条件,非负约束,线性规划模型(LP),时间480小时,至多加工100公斤A1,模型分析与假设,比例性,可加性,连续性,xi对目标函数的
3、“贡献”与xi取值成正比,xi对约束条件的“贡献”与xi取值成正比,xi对目标函数的“贡献”与xj取值无关,xi对约束条件的“贡献”与xj取值无关,xi取值连续,A1,A2每公斤的获利是与各自产量无关的常数,每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时间是与各自产量无关的常数,A1,A2每公斤的获利是与相互产量无关的常数,每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时间是与相互产量无关的常数,加工A1,A2的牛奶桶数是实数,线性规划模型,模型求解,图解法,约束条件,目标函数,z=c(常数)等值线,在B(20,30)点得到最优解,目标函数和约束条件是线性函数,可行域为直线段围成的凸多边形,目标函数的等值线为直线,最优
4、解一定在凸多边形的某个顶点取得。,模型求解,软件实现,LINGO 8.0,max=72*x1+64*x2;x1+x250;12*x1+8*x2480;3*x1100;,OBJECTIVE FUNCTION VALUE:3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.0000
5、00,菜单 Lingo-Solve,20桶牛奶生产A1,30桶生产A2，利润3360元。,结果解释,OBJECTIVE FUNCTION VALUE:3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000,原料无剩余,时间无剩余,加工能力剩余40,max=72*x1+
6、64*x2;x1+x250;12*x1+8*x2480;3*x1100;,三种资源,“资源”剩余为零的约束为紧约束（有效约束）,结果解释,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2 0.000000 48.000000 3 0.000000 2.000000 4 40.000000 0.000000,原料增加1单位,利润增长48,时间增加1单位,利润增长2,加
7、工能力增长不影响利润,影子价格,35元可买到1桶牛奶，要买吗？,35 48,应该买！,聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？,2元！,OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.00000
8、0 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000,最优解不变时目标函数系数允许变化范围,菜单：Lingo-Options-General Solver-Dual Computations:Prices&Range 菜单：Lingo-Range,x1系数范围(64,96),x2系数范围(48,72),A1获利增加到 30元/千克，应否改变生产计划,x1系数由24 3=72增加为303=90，在允许范围内,不变！,(约束条件不变),结果解释,OBJ COEFFICIENT RA
9、NGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000
10、,影子价格有意义时约束右端的允许变化范围,原料最多增加10,时间最多增加53,35元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？,最多买10桶!,(目标函数不变),使用Lingo的一些注意事项,“”与“=”功能相同。变量与系数间相乘必须用”*”号，每行用”;”结束。变量以字母开头，不能超过8个字符。变量名不区分大小写（包括关键字）。目标函数用min=3*x1+2*x2或max=3*x1+2*x2的格式表示。“!”后为注释。变量界定函数实现对变量取值范围的附加限制，共4种：bin(x)限制x为0或1bnd(L,x,U)限制LxUfree(x)取消对变量x的默认下界为0的限制，即x可以取任意实数gin(x)限
11、制x为整数,实验,具体题目见实验指导”Lingo求解线性规划问题.doc”。按照实验报告的格式，特别是要有结果分析。交作业时注意邮件主题和文件名的命名格式！,论文作业,考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：表中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001C0030）分别获得哪些DVD。,现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单(见B2005.xls),注：D001D100表示100种DVD,C0001C1000表示1000个会员,会员的在线订单用数字1,2,表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。,
