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1、数学思想方法的教学,特级教师 肖学平,厦门海沧实验中学,数学思想方法的教与学第一讲 数学思想方法的学习过程与教学原则,一、数学思想方法的内容、特点和作用,（一）、数学思想方法的基本内容 1思想观点类 2思维方法类 3技能技巧类（二）、数学思想方法的核心（三）、数学思想方法的特点（）抽象性（）指导性（）应用的广泛性,（四）、数学思想方法的作用1数学思想方法是思维的工具 第一数学思想方法具有一种抽象思维的能力；第二数学思想方法是数学思维的基本方法；第三数学思想方法：辩证的辅助工具和表现 方式。2数学思想方法是计算机产生与发展的基础。,二、数学思想方法的学习过程,（一）、掌握数学思想方法的过程1数学
2、思想方法学习的模仿阶段2数学思想方法学习的领悟阶段3数学思想方法学习的应用阶段,（二）、数学思想方法的分层教学目标数学思想方法分层教学目标,三、数学思想方法的教学原则,（一）、渗透性原则（二）、循序渐进原则（三）、系统性原则（四）、创造性原则（五）、实践性原则,四、数学思想方法教学的若干问题,（一）、用化归思想驾驭教材（二）、数学思想方法的形成规律（三）、在教学中明确指出数学思想方法（四）、把数学思想方法的教学落实到教学的始终（五）、教学中亟待加强的若干数学思想方法,第三章 转化（或化归）思想的教学,3.1有关转化思想的基本知识,1转化（或化归）思想的含义,2用转化思想解题的一般模式（或思维过
3、程）,待解决或未解决的问题,问题,已经解决的或比较容易解决的问题（*）,解答,解答*,解答（*）,转化,再转化,直至归纳为,中学数学中转化思想的三种形式（）化大为小，化繁为简（）等价转化思想（）不等价的转化思想这里又分两类，其 一是找充分条件，为了证明A，我们找 出命题A1，A2，An，它们有关系：AA1 A2 An，然后证明An，从而断言A为真；其二是找必要条件，为了否定A，我们找出命题B1，B2，B3，Bn，它们有关系：A B1 Bn，然后证明Bn不真，从而断言A也不真,4转化思想的原则与特征5常用的几种转化方法（）分类讨论的方法（将在第五章作详细论 述）（）极端化的方法,（）特殊与一般互
4、相转化的方法,原题,新的较易解决的问题,原题,新的问题的解决,极端化过程,一定的数学手段,（）分解与组合的方法在用分解和组合去实现转化时，对于待处理的问题，通常有四个方面作为分解对象：问题本身，问题的条件，问题的外延，实现目标的过程分解和组合实现转化的模式（或过程）如图所示,待处理的问题,解 答,问题1问题2问题3-,解答1解答2解答3-,分 解,叠加求并,组 合,（）关系映射反演原则（RMI）函数法,解析法,（）构造模型与变换的方法,例7设a1，a2，an是给定的不全为零的实数，r1，r2，rn是实数，如果不等式 对任何实数x1，x2，xn成立，求r1，r2，rn的值评注1不等与相等的转化，
5、是转化思想的一个重要 方面，其原理为：如果f(x)g(x)且 f(x)g(x)，那么f(x)=g(x)2不等转化为相等的几种方法（）用非负数的性质（如aR，则a20，|a|0）（）用函数的有界性（如三角函数的有界性）,（）有“”或“”的不等式中等号成立的条 件，如均值不等式，柯西不等式等（）若有实数a，b，则|a+b|=|a|+|b|ab0，|a-b|=|a|+|b|ab0（）用代换、轮转对称性、特殊值、补集思 想、构造法等,第四章函数、方程、不等式思想的教学,函数的思想方程的思想不等式的思想 函数、方程、不等式是相互联系的，函数概念引入后，解方程f(x)=0就变成了求函数y=f(x)的零点（
6、即函数值为零时寻求自变量的值），从数形结合思想来说就是化为函数图象与x轴的交点坐标的寻求，不等式的解变成了两个函数值的比较大小而产生的区间，函数与方程有时可以转化，如方程F(x，y)=0当x给定后可唯一地确定y值时，可表示为一个函数,第五章分类讨论（或逻辑划分）思想的教学,51有关分类讨论思想的基本知识,1分类的定义2分类的原则（）合理性原则：（）同一性原则：3分类讨论的必要性4分类的逐级性5分类的对象与标准,6分类讨论的常规方法依据数学概念的定义进行分类依据数学公式、原理、法则的适用范围进行分类依据数形结合进行分类依据某些数学性质进行分类依据位置关系进行分类依据参数的变化范围进行分类依据整数
7、的奇偶性进行分类依据特殊情况或特殊要求进行分类依据剩余类进行分类对题断或题设不是唯一确定的命题，按可能出现的情况进行分类,7中学数学中常见的需要分类讨论的内容(1)实数的绝对值|a|与复数的模|z|（当a0时，|a|=-a）说明 括号中所注明的是易于忽视的地方，下同(2)一元二次方程ax2+bx+c=0及其判别式（实系数与非实系数，a0）(3)方程组的解（空集时）(4)指数、对数函数的单调性及幂函数的奇偶性（与1的大小关系）(5)指数、对数函数的底（a1，对数的真数大于零）(6)已知角的半角及倍角所在范围（象限角，轴线角或特殊角(7)求三角函数值（负值所在的范围）(8)三角方程的解（失根）,(
8、9)解证不等式（乘以负数）(10)等比中项（可以为负值）(11)等比数列前n项和公式（q=1）(12)排列、组合应用题（隐含条件，特殊元素的排法）(13)定比分点公式（=1）(14)直线的斜率（不存在）(15)直线在坐标轴上的截距（为零）(16)点、线、面各自的位置关系及相互位置关系（点在 直线上，点在平面内，直线在平面内）(17)共焦点圆锥曲线系（焦点在y轴上）(18)复数概念（虚部为零，此时复数为零或非零实数）(19)基本初等函数的最值（区间端点处的函数值）,(20)几何体的截面面积（截平面与某棱不相交 时的截面面积）(21)方程ax=b的解（b=0）(22)满足条件|zz1|zz2|=2
9、a的动点z的轨迹（|z1z2|与2a的大小关系，双曲线时左支或右 支）(23)圆锥曲线统一的极坐标方程,8简化或避免分类讨论的几种方法避开讨论因素慎选公式、定理、精简分类因素着眼全局整体，减少讨论级数变更主元位置，简化复杂讨论进行变量代换，消除讨论因素等价转化，避免分类讨论利用补集思想，解脱烦琐讨论数形结合，避免分类讨论利用函数观点，函数性质，简化分类讨论,9用分类讨论思想解题的一般步骤：（）确定分类讨论的对象；（）进行合理的分类讨论；（）逐类逐级分类讨论；（）综合、归纳结论我们把分类讨论思想的思维程序及解题过程罗列如下：,第六章 数形结合思想的教学,数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少
10、直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离,6.1数形结合思想概述,一、数形结合的思想，包含两个方面的问题：“形”中觅“数”：“数”上构“形”：二、部分数式与图形的对应关系例7图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，如图67所示已知n取2，1/2四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为（1992年全国高考试题）,评注对于幂函数y=xn（n0），我们常取直线y=x作为参照物，如果幂函数x（0，1）时图象在直线y=x的上方，x（1，+）时图象在y=x的下方，则n1对于幂函数y=xn（n0），我们常取曲线y=1/x作为参照物，如果x（0，1）时幂函
11、数的图象在曲线y=1/x的上方，x（1，+）时图象在y=1/x的下方，则n-1；如果x（0，1）时幂函数的图象在曲线y=1/x的下方，x（1，+）时图象在y=1/x的上方，则-1n0 这也可联想指数函数性质，x（0，1）时，；x（1，+）时，；它在其他象限的部分可以利用对称性和奇偶性给予判定，有时取特殊值进行比较判断也有奇效,第七章 观察、归纳、猜测思想的教学,71有关观察、归纳、猜测思想的基本知识,1发现问题，提出问题2解题过程（）对你自己提出问题（）有选择性的注意（）记录进展的步子（）合情推理在哪里变得有用起来？这是一个初中几何做图的例子，给定四边形的四条边a,b,c,d及对边a与c的夹角
12、，做一个四边形。如下图：,3观察（）观察与实验概述（）解题中的观察方法观察条件和结论的特征观察命题（或式子）的结构特征，常可找到通向未知的捷径观察数式相应的图象，用数形结合解题往往很简单观察隐含条件观察能否变换代用公式观察命题的整体,4归纳（）归纳及其特点（）归纳法的分类（）归纳的态度（）归纳的两个作用用归纳法发现问题的结论用归纳法发现解决问题的途径5类比6联想,7猜测（或猜想）（）猜测的含义（）猜想的主要类型观察猜想归纳猜想类比猜想模拟猜想 审美猜想（）猜测的模式,揣摩诸特例的共性,对该类对象作出一般性判断,选取一类对象的若干特例,类比猜测的模式,归纳猜测的模式,（）猜想的作用通过猜想，寻求题目的结论或结果通过猜想，探索解题方向通过猜想，发现解题方法通过猜想，揭示知识间的联系,猜想并不是科学家才能作出的，我们的一些新想法往往就是一个猜想“归纳、猜想的过程是把我们的思想认识适应于事实的结果，每当把我们的想法和观察相比较时，其结果可能一致也可能不一致，若与观察事实一致，就对我们的想法更有信心，若不一致，就改变想法，经过多次改变之后，我们的想法就可能较好地符合事实用合适的语言表达事实，同思想适应于事实在一定程度上具有同样的重要意义”（波利亚语）第八章,
