数学新教材培训(龙正武).ppt

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1、1,普通高中课程标准实验教科书 数学 1（B版）,中学数学教材实验研究组 编著,2,第一章集合 约 6 课时第二章函数 约16课时第三章基本初等函数()约14课时,作用：与初中相衔接，承上启下,目标：奠基，完成过渡,3,集合的思想,分类：正数、负数、有理数、实数广泛的应用：你能猜出这个人是谁吗？,女作家生于1920年，卒于1995年经典诗句：“长的是磨难，短的是人生”著作：金锁记倾城之恋,4,集合的作用,课标：集合语言是现代数学的基本语言。使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些内容。例如解集、基本事件空间等。理解推理的工具 概念的内涵与外延，子集与推出的关系。,5,章前语：描述了集合的思想

2、与作用,1.1.1 集合的概念,第一章 集合,1.1 集合与集合的表示方法,要注意学生的基础：练习A1(4)：质数,数学1有承上启下的作用，要较好地完成从初中到高中的过渡！,6,1.1.2 集合的表示方法 1.列举法 a 与 a 的区别 2.描述法 特征性质描述法,7,一个集合的特征性质是指，这个集合中的元素具有，而不是这个集合中的元素不具有的性质。,国标的规范化表示：,8,内涵：概念的本质 概念 外延：该概念所确定的事物的总体 集合就是概念的外延，而集合的特征性质就是该概念的内涵 可以利用概念的外延来理解内涵,9,“神”与“有尖角的圆”内涵：不同！外延：相同！因为都是空集。,10,习题1-1

3、A 1.“正约数”习题1-1B 2.(4)“被5除余2的所有整数”欧几里德基本定理：m=nq+r(0rn),习题1-1A 4.二元一次方程 x-y=0 的解集。,11,1.2 集合之间的关系与运算,1.2.1 集合之间的关系 1.子集“空集是任何集合的子集”怎样理解？如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，那么 AB。如果集合 A 中没有元素不在集合 B 中，那么 AB。,12,例1 写出集合 A=1，2，3 的所有子集和 真子集。“一个不漏地”“采用下面的步骤”（1）空集；（2）一个元素构成的；（3）两个元素构成的；（4）三个元素构成的；,渗透算法思想,13,2.集合的相等,Q

4、=x|x 是有理数，R=x|x 是实数 Q R“如果 x 是有理数，那么 x 是实数”是正确的命题 x 是有理数 x 是实数 集合之间的关系&特征性质之间的关系 概念的外延&概念的内涵,3.集合关系与其特征性质之间的关系,14,“如果我是北京市公民，则我是中国公民”如果 A=x|xp(x)，B=x|xq(x)，则：A B 当且仅当 p(x)q(x)；A=B 当且仅当 p(x)q(x)。用集合帮助理解推理,15,探索与研究 集合的元素个数与它的子集数目之间的关系 建议：最好放手让学生操作总结,16,1.2.2 集合的运算,交、并、补 优先级：“补”高于“交”“并”运算律 习题1-2A 9.德摩根

5、定理。,17,探索与研究 card(A)，card(B)，card(AB)，card(AB)自测与评估：6.某班有50名学生，先有32名同学参加学校电脑绘画比赛，后有24名同学参加电脑排版比赛。如果有3名同学两项比赛都没有参加，问这个班有多少同学同事参加了两项比赛？,18,第二章 函数,2.1 函数2.1.1 函数1.变量与函数的概念 18 世纪（Bernoulli&Euler）一个变量的函数是指由这个变量和常数的任何一种方式构成的量。,19,19 世纪 20 年代（Cauchy）如果在一些变量之间有这样的关系：当其中之一的值给定时，便可得出其他变量的值，则前者称为独立变量，其余被独立变量所表

6、示的量称为这个独立变量的函数。,19 世纪 30 年代（Dirichlet）用 y=f(x)表示对应关系。,20,一般采用的定义 设集合 A 是一个非空数集，对 A 中的每一个实数 x，按照确定的法则 f，都有唯一的实数 y 与之对应，则称这种对应关系 f 为集合 A 上的一个函数，记作y=f(x)，xA。函数的两个要素：定义域和对应法则。什么是对应法则？,21,现代定义(1921年，Kuratowski)设 f 是一些序偶的集合，若当(x，y)f且(x，z)f 时，有 y=z，则称 f 为一个函数。什么是序偶？(x，y)=x，x，y,22,在各种类型之间转换时要注意说明：奇偶性与单调性用的类

7、型不一样！,23,例2 求函数 的值域。,第32页,利用值域的定义,24,容易看出，这个函数当 x=0 时，函数取得最大值 1，当自变量 x 的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并趋向于 0，但永远不会等于 0。于是可知这个函数的值域为集合(0，1。利用实数的有序性,25,有没有必要扩充？,求函数 的值域。,最好的工具：导数。,26,例3：（1）已知函数 f(x)=x2，求 f(x-1)；（2）已知函数 f(x-1)=x2，求 f(x)。解：（1）f(x-1)=(x-1)2=x2-2x+1；（2）因为 f(x-1)=x2=(x-1)2+2(x-1)+1，所以 f(x)=x2+2x+1。,27,（

8、1）f(x-1)=(x-1)2=x2-2x+1；f(x)=x2 f(a)=a2 f(2x-1)=(2x-1)2 f()=2（2）f(x-1)=x2=(x-1)+12=(x-1)2+2(x-1)+1，,f(x)=x2+2x+1,28,（2）已知函数 f(x-1)=x2，求 f(x)。事实上，解这一类问题的一般方法叫做换元法，即在函数表达式中，令t=x-1，则 x=t-1，于是可得f(t)=(t+1)2=t2+2t+1。,建议不要再拓展,29,练习B5 已知 求g(x)的解析式。,已知 f(x)=x2-1，求 f f(3)。,30,2.映射与函数 例5.数轴上的点集与实数集R的一一对应。例6.平面

9、直角坐标系内的点集与有序实数对的全体构成的集合之间的意义对应。一次函数、二次函数的对应关系 给差学生一个机会,31,3.用Scilab语言求函数值的方法(选学),已知函数的表达式，用 Scilab 语言求函数值的步骤为：(1)在函数定义域内给变量 x 赋值(取值)；(2)给定函数表达式；(3)计算函数值，并在屏幕上输出。无条件的话可以省略！,32,2.1.2 函数的表示方法,列表法、图象法、解析法让学生熟悉不同类型的函数 分段函数，高斯取整函数，递归函数 例3 已知函数 y=f(n)，满足 f(0)=1，且 f(n)=nf(n-1)，xN+。求 f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)

10、。,33,2007北京理,已知 f(x)和 g(x)定义如下：,则 f(g(1)=，满足f(g(x)g(f(x)的 x 的值是。,34,2.1.3 函数的单调性,由三个特殊函数图象的变化趋势引入定义 比起代数的定义，学生更喜欢图象，怎么引导？作图象并不容易，图象不精确,35,一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 A，区间 M A。如果取区间 M 中的任意两个值 x1，x2，改变量 x=x2-x1 0 时，有：y=y2-y1 0，就称 y=f(x)在区间 M上是增函数；y=y2-y1 0，就称 y=f(x)在区间 M上是减函数。,与以前不一样！,36,求 y=x2-2x 的单调区间。y=x2-

11、2x=(x-1)2-1(-，1,37,例1 证明函数 是增函数。例2 证明函数 在区间 和 上分别是减函数。,慎用图象,38,探索与研究,因变量的改变量与自变量的改变量之比叫做函数 y=f(x)从x1到x2之间的平均变化率。能否用平均变化率来研究增减性？微积分的基础,39,辽宁2009年最后一题 已知函数（1）讨论这个函数的单调性；（2）证明：若 a5，则对任意 有,40,2.1.4 函数的奇偶性,例1(3)判断函数 f(x)=x+1的奇偶性。因为 f(x)=x+1，f(-x)=-x+1，所以f(-x)f(x)，f(-x)-f(x)，,因此 f(x)=x+1 既不是奇函数也不是偶函数。,代数比

12、图象更重要！,41,例2 研究函数 的性质并作图象。定义域由解析式知 y0，图象在 x=0 处断开，分为两部分偶函数当x的绝对值变小时，函数值增大得非常快列表作图象,为什么这么做？,42,2.1.5 用计算机作函数的图象(选学),习题2-1A9 已知分段函数 f(x)是奇函数，当 x0,+)时的解析式为 y=x2，求这个函数在区间(-,0)上的解析式。,43,习题2-1B4 已知函数 f(x)在区间D上是奇函数，函数 g(x)在区间 D 上是偶函数，求证：G(x)=f(x)g(x)是奇函数。重点在证明过程，而不是结论 H(x)=f(x)+g(x)，F(x)=f(x)-g(x),44,2.2 一

13、次函数和二次函数 现在重温这两类函数，整理它们的性质与应用2.2.1 一次函数的性质与图象2.2.2 二次函数的性质与图象2.2.3 待定系数法,45,为什么讲一次函数与二次函数？相关结论很重要结论的推导过程更重要通过简单的函数来教会学生研究函数的方法,46,当 k 0 时，y=kx 的图象过一、三象限；当 k 0 时，y=kx 的图象过二、四象限。令 x=1，可得(1，k)在 y=kx 的图象上,47,1,48,x,y,y=a1x,y=a2x,a1,a2,49,（1）重新解释 y=kx+b 中 k 的意义：表示倾斜程度,2.2.1 一次函数的性质与图象,改变量平均变化率,50,（2）当 k

14、0 时，一次函数是增函数；当 k 0 时，一次函数是减函数。（3）当b=0 时，一次函数是奇函数；否则是非奇非偶函数。不是看图象得出来的，要引导学生证明！,是回到初中“看图说话”的水平，还是让学生养成严格说理的习惯？,51,练习B2 对于每一个实数 x，设 f(x)取 三个函数中的最小值，用分段函数写出 f(x)的解析式，并求 f(x)的最大值。,有难度，但可以化解,52,2.2.2 二次函数的性质与图象,二次项系数 a 的影响 教材中是“看图说话”的,1,a1,a2,53,下面举例说明研究二次函数的一般方法：例1 试述二次函数 的性质，并作出它的图象。,（1）配方，分析值域、顶点等,（2）讨

15、论与 x 轴的交点,（3）描点画图,54,（4）证明 的对称性,在 x=-4 的两边取两个对称的 x 值：-4-h，-4+h，其中 h 0，然后证明f(-4-h)=f(-4+h)。,可以引导学生严格证明,（5）增减性,55,2008年山东高考题 设函数 f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线 x=1 对称，则 a 的值为()。A.3 B.2 C.1 D.-1,对称问题,解：在 x=1 的两边取两个对称的 x 值：1-h，1+h，其中 h 0，然后使 f(1-h)=f(1+h)，即|2-h|+|1-h-a|=|2+h|+|1+h-a|。,56,2008年宁夏、海南高考题(第21题)设函数

16、 曲线 y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y=3。（1）求 y=f(x)的解析式；（2）证明 y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）,57,因为 g(x)的对称中心为(0，0)，所以 f(x)的对称中心为(1，1)。,58,设对称中心为(s，t)，点(x，y)在曲线 y=f(x)的图象上，则点(2s-x，2t-y)也在曲线的图象上。,59,练习A 3.已知函数 y=x2-x-2，利用函数的图象，求 y 0时，x 的取值范围。练习B 3.用配方法求下列函数的定义域和值域：,这里一定要补充一元二次不等式的解法吗？,60,课时不够，配方法足矣 高一新生的因式分解能力

17、有待提高 数学5有专门的内容,不一定！,61,学生容易出现的错误,求 的定义域。,62,63,第63页练习B 2.已知对任意实数 x，都有求 a，b 的值。,64,另一种讲法：,65,探索与研究,探索函数 y=f(x)与 y=f(x+a)，y=f(x+a)+b 的图象之间的关系。,66,平移怎么讲更好？,y=f(x)y=f(x)+2 假设点(a，b)在函数 y=f(x)的图象上，那么点 一定在函数 y=f(x)+2 的图象上。,(a，b+2),67,y=f(x)y=f(x+2)假设点(a，b)在函数 y=f(x)的图象上，那么点 一定在函数 y=f(x+2)的图象上。,(a-2，b),68,2

18、008 广东理,设 p，q 是实数，a，b 是方程 x2-px+q=0的两个实根，数列 xn 满足 x1=p，x2=p2-q；xn=pxn-1 qxn-2，n=3，4，5，。（1）证明：a+b=p，ab=q；（2）求数列 xn 的通项公式；（3）若 p=1，q=0.25，求xn 前 n 的和。,69,“性质与图象”“图象与性质”图象的作用是什么？性质分析清楚之后，图象就更容易画了。,定义域，值域，周期性，对称性(奇偶性)，单调性，最大值最小值,70,为什么要这样？,作函数 y=x2-2x-2 的图象。,71,2.3 函数的应用(1),通过五个例子，说明一次函数和二次函数的应用。例子的内容涉及到

19、匀速直线运动、求利润最大值、面积的最值和求近似解。,72,2.4 函数与方程,2.4.1 函数的零点2.4.2 求函数零点近似解的一种方法 二分法,通过二次函数和简单的三次函数，说明了函数与方程的关系。,73,一般地，如果函数 y=f(x)在实数 a 处的值等于零，即 f(a)=0，则 a 叫做这个函数的零点。在坐标系中表示图象与 x 轴的公共点是(a，0)。,2.4.1 函数的零点,74,仅仅只是为了复习二次函数的性质吗？目的：,例 求函数 的零点，并画出它的图象。,75,如果 f(x)的零点为 x1，x2，x3：,76,x,并不陌生！,77,2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法 二分

20、法,重点是什么？二分？步骤？计算过程？,78,设函数 与 的图象的交点为(x0，y0)，则 x0 所在的区间是（）。A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4),2007年山东（文）,79,设函数 f(x)在区间 a，b上的图象不间断，且在它的两个端点处的函数值 f(a)，f(b)异号，即 f(a)f(b)0。则这函数在区间 a，b上至少有一个零点。即存在 x0a，b，使 f(x0)=0。,80,已知 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线。如果 f(a)0 且 f(b)0，那么在 a，b 的 y=f(x)图象可能是怎样的？,81,已知 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线。如果

21、 f(3)5 且 f(4)5，那么 f(x)=5 在 3，4 一定有解吗？,一个更高的要求,82,如果函数图象通过零点时穿过 x 轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x 轴，则称这样的零点为不变号零点。,可能值得注意的地方,二分法求得的零点一定是变号零点吗？,83,不一定！,84,中点公式：,习题2-4B 2.试说明方程 x4-4x-2=0 在-1，2 上至少有两个实根。,85,3.1 指数与指数函数3.1.1 实数指数幂及其运算 整数指数幂：正整指数幂定义及其运算法则，零指数幂定义，负整指数幂定义。有理指数幂：根式及其性质；分数指数幂定义。实数指数幂：无理指数幂定义。,第三章 基本初等

22、函数(I),86,3.1.2 指数函数 指数函数 y=ax（a 0，且 a 1）：当 a 1 时，x 取何值，y 1？x 取何值，0 y 1？当 0 a 1 时呢？,用增减性，避免背图象,87,3.2 对数与对数函数,3.2.1 对数及其运算,88,单调性保证：对每一个 y，只有唯一 的 x 与之对应。,y 0,优点：（1）省事；（2）揭示了指、对数函数的联系；（3）为反函数的讲解做铺垫。,89,对数运算的运算律,90,练习A4.指出下列式中的错误，并说明理由：,91,3.2.2 对数函数 利用指数函数研究对数函数 为讲反函数作准备,对数函数 y=logax（a 0，且 a 1）：当 a 1 时，x 取何值，y 1？x 取何值，0 y 1？当 0 a 1 时呢？,92,3.2.3 指数函数与对数函数的关系 反函数 指数函数与对数函数增长的差异,93,练习B1.,求下列函数的反函数：,94,尽量多利用性质说理,95,3.3 幂函数,定义域是个易错的地方探索与研究 幂函数与函数的凸性,96,3.4 函数的应用(II),大家都知道，没啥可说的,探索与研究 如何建立数学模型,97,资料获取处,网 址：用户名：密 码：20090221,98,人民教育出版社 龙正武010-58758532 北京中关村南大街17号院1号楼（100080）,