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1、系统建模与仿真技术第2章 数学模型与系统建模,机械与汽车工程学院 陈无畏,2,2.1 概述,科学的数学化是当代科学发展的一个主要趋势。数学模型（mathematical model）是数学理论与实际问题相结合的一门科学。为解决各种复杂的实际问题，建立数学模型是一种十分有效并广泛使用的工具或手段。,3,弹簧特性曲线,4,2.1.1 数学模型的定义,“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。,5,车身与车轮两个自
2、由度振动系统模型及其运动方程,6,2.1.2 系统类型,1.连续或离散系统,连续系统-RLC串联电路,7,离散系统,8,2.1.2 系统类型,2.线性或非线性系统非线性系统用非线性微分方程表示,线性定常系统,线性时变系统,9,2.1.2 系统类型,3.集中参数或分布参数系统可以用有限个变量描述的系统，称为集中参数系统或集总参数系统。状态变化不能只用有限个参数而必须用场（一维或多维空间变量的函数）来描述的系统，称为分布参数系统。,10,分布参数系统问题-风洞试验研究机翼颤振,11,2.1.2 系统类型,4.确定或随机系统确定系统指用确定性的数学模型来描述，输出和输入变量之间有完全确定的函数关系。
3、随机系统则由于系统内部或环境发生不确定的变动，影响输出变量。,12,2.1.2 系统类型,5.单变量或多变量系统 单变量系统，是指只有一个输入量和一个输出量的系统。例：压力或流量调节系统 天线的随动系统 坦克的火炮稳定装置,13,具有多个输入量或输出量的系统，称多变量系统,汽轮机的蒸汽压力和转速控制,14,涡轮螺旋桨发动机转速和涡轮进气温度的控制,15,2.1.3 建模要求,1.真实完整2.简明实用3.适应变化,16,2.2 数学模型,17,2.2.1 数学模型的作用,首先帮助人们加深对客现世界的认识 其次提高人们的决策和对客现世界的干预能力,数学模型的作用,18,根据建模目标建立真实世界系统
4、,19,2.2.2 集合、抽象与数学模型,真实世界的现象,数学模型,相互关系如何建立,抽象,20,集合的概念是建立在抽象基础上的，集合的运算允许我们不必详细说明细节而去处理抽象后的关系。有限集合：如无限集合：如整数集合，,21,现象,抽象,集合,输入,输出,状态变量,复合集合结构,定义函数关系,理论构造,具体化,22,2.2.3 数学模型的形式化表示方式,一个系统可以被定义成下面的七元集合结构T为时间基；X为输入集；为输入段集；Q为内部状态集；Y为输出集；为状态转移函数；为输出函数。,23,(1)时间基：T是描述时间和为事件排序的一个集合。,24,(2)输入集：X代表系统界面的一部分，外部环境
5、通过它作用于系统。,外部环境,信息流和物质流,系统,25,(3)输入段集：一个输入段描述某时间间隔内系统的输入模式。是时间基中从初始时刻到终止时刻的一个区间，所有上述输入片段所构成的集合都记作（X,T），输入段集是(X,T)的一个子集。,26,(4)内部状态集：表示系统的记忆，即过去历史的遗留物，它影响着现在和将来的响应。是内部结构建模的核心。例 X为状态集，是系统建模的核心。,27,(5)状态转移矩阵：状态转移矩阵函数是一个映射,状态q,时刻系统状态,输入集,施加输入集,状态q,时刻系统状态,28,(6)输出集：除方向不同外，输出集的含义和输入集的完全相同。(7)输出函数：输入函数使假想的系
6、统内部状态与系统对其环境的影响相关联。,或,29,2.2.4 模型的有效性与建模形式化,实际系统数据,模型产生的数据,二者的符合程度度量模型的有效性,三个不同级别的模型有效：复制有效、预测有效和结构有效,30,(1)行为水平,人们在这个水平上描述系统，是将它看成一个黑盒，并且对它施加一个输入信号，然后对它的输出信号进行测量与记录。,31,(2)状态结构水平,人们在这个水平上描述系统，建模者对实际系统的内部工作情况了解清楚，且掌握了实际系统的内部状态及其总体结构。,32,(3)分解结构水平,把实际系统描述为由许多子系统相互连接起来而构成的一个整体。,33,2.3 数学建模的基本方法,34,2.3
7、.1 建模过程的信息源,真实世界中的物体或与此有关的信息,加工,处理,模型描述,数学建模的信息源,35,(1)目标和目的(2)先验知识 牛顿说过：“假如我看得远，那是因为我站在巨人的肩上”。(3)实验数据,36,2.3.2 建模途径,(1)演绎法：从一般到特殊(2)归纳法：从特殊到一般(3)目标法：直接指向建模的特定目标 单纯采用上述方法很难获得有效的结果，所以通常是综合采用之。,37,2.3.3 模型可信度,可信度一方面取决于模型的种类，另一方面又取决于模型的构造过程。1)在行为水平上的可信度2)在状态结构水平上的可信度3)在分解结构水平上的可信度,38,2.3.4 建模过程,39,2.3.
8、5 建模的逻辑思维方法,(1)分析综合能力；(2)抽象概括能力；(3)想象洞察能力；(4)运用数学工具的能力；(5)通过实践验证数学模型的能力。,40,2.3.5 建模的逻辑思维方法,建立数学模型是一种积极的思维活动，从认识论角度看，它是一种极为复杂且应变能力很强的心理现象。,41,几种逻辑思维方法,抽象:从众多的事物中抽取出共同的、本质性的特征，而舍弃其非本质的特征。,抽象出共同特征：水果,42,归纳：从特殊的具体的认识推进到一般的抽象认识的一种思维方式。,多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间有什么关系呢？,43,分析这些特例数据的基础上就可归纳出一个结论：,44,演绎：由一般性的命题推出特
9、殊命题的推理方法。,十角形确定它有多少条对角线？,45,一般原理 本例，n=10，,n-角数，L-对角线数,46,类比：由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其它性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。例：,汽车悬架系统,力学类比,47,汽车悬架系统质量-弹簧-减振器二阶线性微分方程,RLC串联电路的数学模型为,48,RLC并联电路的数学模型比较上述三式，不难得到所示的类比关系 汽车悬挂系统可以采用电路类比模型，改变电路中元件数值来预测汽车的性能，从而为汽车的设计提供依据。,49,移植：将某个学科、领域中的原理、技术、方法等，应用或渗透到其它学科、领域中，为解决某一问题提供启迪、帮助的创
10、新思维方法。,手术拉链代替线缝合,50,材料移植：玻璃纤维取代钢来制造坦克的外壳,51,2.4 数学模型常用的表述形式,差分方程的模型形式 差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过程的数学模型。,k阶差分(k为正整数)定义为,52,微分方程的模型形式,普通n阶线性微分方程式可写为：,RLC串联电路微分方程,53,偏微分方程的模型形式,为得到更精确的描述采用偏微分方程,专业数值分析软件包FEMAB，以偏微分方程(PDEs）为基础，来建立模型并且解决科学及工程问题。,54,2.5 工程系统常用的数学模型,工程上常用的数学模型可分为连续系统的数学模型和离散系统的数学模型。,55,2.5.1 连续系
11、统,连续系统的数学模型通常可用几种形式表示：微分方程传递函数状态空间表达式线性结构图非线性结构图,56,微分方程,一个连续系统可以表示为高阶微分方程，即连续系统本来就是和时间联系在一起的，因此微分方程及其时域解是最基本的描述方式。,57,传递函数,单输入-单输出线性定常系统的传递函数定义为系统松弛（初始条件为零的系统称初始松弛系统）时，输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。,58,状态空间表达式,状态空间表达式由状态方程和输出方程组成,59,权函数（脉冲过渡函数）,一个零初始条件的连续系统，受到一个狄拉克函数的作用后，其响应就称为系统的权函数或称脉冲过渡函数。,狄拉克函数,60,线性
12、结构图表示,线性结构图,组合弹性系统,线性结构图,61,非线性结构图表示,在一个线性系统中加入了若干个非线性环节，就构成了非线性结构图。,死区-滞环-开关非线性系统,62,2.5.2 离散系统,离散系统常用的数学模型有差分方程、z传递函数、离散状态空间表达式、线性结构图和非线性结构图。,63,差分方程,差分方程的一般表达式为,64,z传递函数（简称z函数）,对差分方程进行z变换，得,G(z)称为系统的z函数。,65,离散状态空间表达式,66,权序列,一个零初始条件的离散系统，当它受到一个函数的作用后，其响应称为权序列,函数,67,线性结构图表示,SISO离散闭环系统,68,非线性结构图表示,带
13、有滞后的调节过程,69,2.6 数学模型之间的转换,化连续状态方程为离散状态方程,连续系统方程为,其离散状态表达式为,70,2.6.2 化离散状态方程为连续状态方程,设已知系统的离散模型为,相应的连续模型为,71,2.6.3 化微分方程为状态方程,(1)当系统输入量中不含有导数项，即,转化为,其中,72,状态空间表达式可写作,状态空间表达式可写作,73,2.6.4 化状态方程为传递函数,设系统的状态空间表达式为,相应的传递函数矩阵为,74,2.6.5 化传递函数为状态方程,闭环系统,闭环系统传递函数方框图,对应的状态方程,75,2.6.6 化结构图为状态方程,(1)积分环节(2)惯性环节(3)
14、二阶振荡环节,其对应的状态空间方程为,它对应的状态空间方程为,它对应的状态空间方程为,76,2.6.7 化结构图为传递函数,系统结构图,其传递函数可按梅逊定理表示为,77,2.6.8 化传递函数为z函数,传递函数和函数的对应关系 例：,得,78,2.6.9 化z函数为传递函数,Z函数,Z函数与传递函数的关系,得传递函数,79,2.7 复杂系统建模的几种方法,客观事物中有许多复杂系统，它包含非线性、时变性、不确定性、不稳定性、模糊性、难于预测的涌现性等。这种复杂系统在基础科学、应用科学和技术、工程建设、社会、经济和军事领域大量存在，一般不易直接求解，这也是当前建模与仿真技术中的一个前沿方向。,8
15、0,2.7.1 图解建模法,图解建模法是一种采用点和线组成的、用以描述系统的图形或称图的建模方法。图解建模法是一种非常有用的建模方法。人们可从中获得变量之间关系的总体图像，并凭借直觉推导出结果。它主要用于变量不多（23个），而信息也不充分的条件下分析变量之间的定性关系。具体作用有两方面：平衡点分析；稳定性分析。,81,（一）平衡点分析,例1 蛛网模型在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由供求双方决定的。假定商品的供给量S是价格p的函数，由p唯一决定，即有S=f(p)。商品的需求量D也是价格p的函数，由p唯一决定，即有D=g（p）。,一般,82,商品数量和价格将按A-B-C-E方向趋向点M。点M
16、是稳定平衡点。,需求曲线D与供应曲线F,商品的数量和价格将按A-B-C-E方向远离点M，点M是不稳定平衡点。,稳定与否取决于点M附近曲线斜率,83,城市公交线路网络图的最短路径与乘车路线问题,84,85,城市公交线路网络图的最短路径与乘车路线问题,八条公交路线,86,将一个城市的所有公交站点和公交线路转化为下列元素为0、1的数表：,87,1)对应于单目的地的最短乘车路线,假设我们要找乘车路线：,88,89,2)对应于多目的地的最短乘车路线,乘车任务：目的地是一个站点集合，没有先后次序，,五个站点的距离矩阵,90,对应的无向网络图,容易看出，乘车路线,最短,91,城市公交线路网络示意图,92,2
17、.7.2 层次分析法,层次分析法(Analytic Hierarchy Process，AHP)是美国著名运筹学家、匹兹堡大学教授于20世纪70年代提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法，是一种定性和定量相结合的，系统化、层次化的分析方法。,93,例1 防空导弹射击指挥中的目标威胁评估与排序,目标威胁评估与排序是防空导弹作战中的关键问题之一，是火力分配的主要依据。,威胁排序的层次结构模型,威胁程度,到达时间,航程捷径,目标类型,机动特性,目标1,目标n,94,判断矩阵求特征权向量及最大特征值,95,)进行一致性检验,表明判断矩阵具有满意的一致性，即特征权向量,较客观的反映了到达时间、航程捷径、目标类型和机动特征对威胁的“贡献”。,96,例2 公交车天然气发动机选型,(1)基本数据对比发动机的经济性发动机的动力性,97,发动机的可靠性(2)建立层次模型,98,计算得到可以确定上柴T6114ZLQ4B型发动机为所选择的发动机。,99,2.7.3 概率统计法,随机模型最合理的建模方法是采用概率统计的手段。采用哪种分布，或必须拒绝哪些分布？利用足够的观测数据可以合理选择概率分布,100,复合系统可靠度,也可写成,101,计算得,即,代入100，得,即该小型计算机系统可靠工作100h的概率为0.5。,
