数学课件不等式的性质及比较法证明不等式.ppt

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1、第1节 不等式的性质及比较法证明不等式,第6章 不等式,免费下载！,要点疑点考点,1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通过本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式命题的充分性和必要性，正确判断命题的真假.不等式有如下8条性质：1.ab ba.(反身性)2.ab，bc=ac.(传递性)3.ab a+cb+c.(平移性)4.ab，c0=acbc；ab，c0=acbc.(伸缩性)5.ab0=，nN，且n2.(乘方性)6.ab0=anb，nN，且n2.(开方性)7.ab，cd=a+cb+d.(叠加性)8.ab0，cd0=acbd.(叠乘性),2.掌握用比较法证明不等式的方法，熟悉

2、它的变形过程.用比较法证明不等式的步骤是：作差变形定号.其中的“变形”可以变成平方和，也可以变成因式的积或常数；有关指数式的比较法通常用作商法，步骤是作商变形与1比较大小.,1.设a0，-1b0，则a，ab，ab2三者的大小关系为_.2.设A=1+2x4，B=2x3+x2，xR且x1，则A，B的大小关系为A_B.3.若n0，用不等号连接式子 _ 3-n,课 前 热 身,aab2ab,4.若0a1，则下列不等式中正确的是()(A)(1-a)(1/3)(1-a)(1/2)(B)log(1-a)(1+a)0(C)(1-a)3(1+a)2(D)(1-a)1+a1,5.已知三个不等式：ab0，-ca-d

3、b，bcad.以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成_个正确的命题.,A,3,能力思维方法,1.比较xn+1+yn+1和xny+xyn(nN，x，yR+)的大小.,【解题回顾】作差法的关键步骤是差式的变形，常利用因式分解、配方等方法，目的是使差式易于定号，一般四项式的分解常用分组分解法.,2.设a0，b0，求证：,【解题回顾】(1)用比较法证明不等式，步骤是：作差(商)变形判断符号(与“1”比较)；常见的变形手段是通分、因式分解或配方等；常见的变形结果是常数、若干个因式的积或完全平方式等.应注意的是，商比法只适用于两个正数比较大小.(2)证法2的最后一步中，也可用基本不等式来完成：,【解题

4、回顾】在使用放缩技巧时，一定要注意方向，保持一致.,3.已知x0，y0，求证：,延伸拓展,【解题回顾】用定义法证明函数的单调性，多用到比较法，特别是作差比较，要切实掌握比较法的推理过程，注意推理的严密性.,4.设0a1，根据函数的单调性定义，证明函数f(x)=logax+logxa在 上是增函数.,误解分析,(1)应变形到最佳形式再判断符号，否则既繁琐又易出错.,(2)应熟练掌握对数的性质来判断对数的符号，所以对数性质的应用是解决本题的关键.,第2节 用综合法、分析法证明不等式,要点疑点考点,2.综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确，因此我们常常用分析法寻找解题的思路，再用综合法表述.分

5、析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”.要注意用分析法证明不等式的表述格式.对于较复杂的不等式的证明，要注意几种方法的综合使用.,1.不等式证明的分析法和综合法是从整体上处理不等式的不同形式.分析法的实质是从欲证的不等式出发寻找使之成立的充分条件.综合法是把整个不等式看成一个整体，根据不等式的性质、基本不等式，经过变形、运算，导出欲证的不等式.,3.若 恒成立.则常数a的取值范围是_.,1.当a1，0b1时，logab+logba的取值范围是_.,课 前 热 身,(-，-2,2.设，则函数 的最小值是_，此时x=_.,4.设a、b、cR+，则三个数的值()(A)都大于2(B)至少有一个不大于

6、2(C)都小于2(D)至少有一个不小于2,D,能力思维方法,1.已知a，b，c都是正数，且ab，a3-b3=a2-b2，求证：1a+b,【解题回顾】本题证明a+b1采用了综合法，而证明a+b 是采用了分析法.在证题时，从已知条件出发，实行降幂变换，证出了a+b1；而从结论出发，实行升幂变换，导出a+b 这是两种不同的思维程序.,【解题回顾】(1)先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法.(2)注意条件中1的代换与使用.,2.(1)设a，b，c都是正数，求证：(2)已知a、b、c

7、R+，且a+b+c=1.求证：,【解题回顾】利用|a|2a2(aR)是证有关绝对值问题的好方法，证一就是利用这一方法，证二采用的是有理化分子，证三、证四是将数量关系的问题转化为图形的性质问题，充分地考察数学问题的几何背景，常可使问题得以简化.,4.已知ab0，求证：,【解题回顾】有趣的是，这个双边不等式，我们能够同时进行证明.,延伸拓展,【解题回顾】原不等式从左边到右边的变化是消去a1、a2，因此设法产生a1+a2是变形的目标.,5.设a1，a2R+，a1+a21，1，2R+，求证：,误解分析,1.不等式中所含字母较多，分不清它们的关系是出错的主要原因.,2.把握不住证题方向，会导致证题出现混

8、乱.,第3节 算术平均数与几何平均数,要点疑点考点,1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的定理.了解它的变式：(1)a2+b22ab(a，bR)；(2)(a，bR+)；(3)(ab0)；(4)(a，bR).以上各式当且仅当ab时取等号，并注意各式中字母的取值要求.,2.理解四个“平均数”的大小关系；a，bR+，则 其中当且仅当ab时取等号.,3.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.,4.已知两个正数x，y，求x+y与积xy的最值.(1)xy为定值p，那么当xy时

9、，x+y有最小值；(2)x+y为定值s，那么当xy时，积xy有最大值.,1.“a0且b0”是“”成立的()(A)充分而非必要条件(B)必要而非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件 2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若ab，则两车到达B地的情况是()(A)甲车先到达B地(B)乙车先到达B地(C)同时到达(D)不能判定,课 前 热 身,A,A,4.已知lgx+lgy1，的最小值是_.,3下列函数中，最小值为4的是()(A)(B)(C)(D),C,2,5.某公司租地建仓库，每月土地占

10、用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()(A)5公里(B)4公里(C)3公里(D)2公里,C,能力思维方法,【解题回顾】三项重新组合成三组后利用基本不等式，是利用基本不等式证明不等式的一种常用技巧.若另加条件a，b，c不全相等，则等号不成立.,1.设a，b，c都是正数，求证：,2.(1)若正数x、y满足x+2y1.求 的最小值；(2)若x、yR+，且2x+8y-xy0.求x+y的最小值.,【解题回顾】第(1)题常有以下错误解法：错误的

11、原因在两次运用平均不等式的时候取等号的条件矛盾.(第一次须x2y，第二次须xy).求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密切关注字母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法.,3.已知正数a、b满足a+b1.(1)求ab的取值范围；(2)求 的最小值.,【解题回顾】用不等式解决有关实际应用问题，一般先要将实际问题数学化，建立所求问题的代数式，然后再据此确定是解不等式，还是用不等式知识求目标函数式的最值.,4.如图，为处理含有某种杂质的矿水，要制造一底宽为2米的无盖长方形沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，

12、已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计).,【解题回顾】本题应用了命题的等价转化思想，即“如果A是B成立的充要条件，那么B也是A成立的充要条件”.,延伸拓展,误解分析,(2)不能把恒成立问题转化成最值问题，变形无方向、易错.,(1)不能灵活使用充要条件的概念进行转化，造成证题混乱、易错.,第4节 不等式的解法,要点疑点考点,1.解一元二次不等式是解整式、分式不等式的基础.求解时应首先调整不等式中二次项系数a，使a0.在熟练掌握一元一次不等式(组)和一元二次不等式解法的

13、基础上，掌握分式不等 式、简单的高次不等式的解法.2.掌握利用图形、数轴讨论不等式组解集的方法.3.讨论一元二次不等式系数中的字母取值问题，常用到分解因式、判别式、求根公式、韦达 定理，还应充分考虑运用函数思想.,课 前 热 身,1.不等式(2/x)x+1的解集为_.,xx1或-2x0,2.已知函数f(x)=x2+ax+3，当x-2，2时，不等式f(x)a恒成立，求a的取值范围是_,-7 a2,3.不等式(x-2)2(x-3)/(x+1)0的解集为_.,x-1x2或2x3,4.不等式ax/(x-1)1的解集为xx1或x2，则a=()(A)2(B)-2(C)12(D)-12 5.已知不等式x2-

14、4x+30，x2-6x+80，2x2-9x+m0，要使同时满足、的x也满 足，则有()(A)m9(B)m9(C)m9(D)0m9,C,C,能力思维方法,1.设mR，解关于x的不等式m2x2+2mx-30.,【解题回顾】解此不等式时，由于mR，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解.因 为当m0时，原不等式化为-30，此时不等式的解集为R，所以解题时应分m0与m0两种 情况来讨论.在解出m2x2+2mx-30的两根为x1-3/m，x21/m后，认为-3/m1/m也是易出现的错误之处.这 时也应分情况来讨论：当m0时，-3/m1/m；当m0时，-3/m1/m.,2.解下列不等式：(1)(x+2)(

15、x+1)2(x-1)(x-2)0；(2)(x2+2x-2)/(3+2x-x2)x.,【解题回顾】题(1)是解高次不等式，一般解法为通过同解变形，使一边为0，另一边为一 次因式的积(x的系数为正)，然后用根轴法求解.如果出现重因式(x-a)n，n为奇数，该式可 视为(x-a)来求解.若n为偶数，则先将该式去掉，最后再讨论xa是否为原不等式的解.题(2)是解分式不等式，不可盲目去分母，一般解法是：移项，通分，分解因式后化为f(x)/g(x)0 f(x)g(x)0，用序轴标根法解，若f(x)/g(x)0，则f(x)g(x)0且g(x)0.,3.已知两个命题：p：当x1，+)时，函数f(x)=(0a1

16、)恒有意义；q:关于x的 不等式x2-2x-3(1-5/(m+1)的解集为实数集R；如果这两个命题中有且只有一个是真命题，试求m的取值范围.,【解题回顾】本题两个命题的设计均为恒成立问题,都可以转化为最值问题得到相关的不等 式，注意对两个命题进行讨论以满足条件，从而得到m的范围.,4.解关于x的不等式(k(1-x)/(x-2)+10(k1，且k0).,【解题回顾】本题是含参数的分式不等式的求解.首先要通分，变形成因式积的形式，再 由判断根的大小来确定讨论的标准与范围.,延伸拓展,5.设二次函数f(x)x2+bx+c(b，cR)，已知不论，为何实数，恒有f(sin)0，且 f(2+cos)0.(

17、1)求证：b+c-1；(2)求c的取值范围；(3)若函数 f(sin)的最大值为8，求b，c的值.,【解题回顾】本题充分体现了二次函数与二次不等式的联系与转化，其解法“巧”在利用 条件的特殊状态求出f(1)0，“活”在二次函数向不等式的转化，“妙”在利用二次函数 单调性确定最大值的表达式，进而求出b，c.,1不能充分使用二次函数与二次不等式之间的关系.2不能利用二次函数单调性，求给定区间上的二次函数的最值，致使建立错误的关系.同时 注意与前面小题中的结论相结合.,误解分析,第5节 不等式的解法,要点疑点考点,1.掌握无理不等式的解法.解的过程注意两点：(1)保证根式有意义；(2)在利用平方去掉

18、根号时，不等式两边要为非负值.,2.掌握绝对值不等式的解法.最简绝对值不等式分两类：(1)|f(x)|a(a0)等价于f(x)-a或f(x)a；(2)|f(x)|a(a0)等价于-af(x)a.,3.掌握指数、对数不等式的基本解法基本型(axb，logaxb)，同底型(af(x)ag(x)、logaf(x)logag(x)，或利用换元法或通过函数的单调性将其转化为代数不等式.转化过程中，应充分关注函数定义域，保证变形的同解性.在转化为不等式组的解时，应注意区别“且”、“或”，涉及到最后几个不等式的解集是“交”还是“并”.,1.方程 的解集是()(A)(-1，0)(3，+)(B)(-，-1)(0

19、，3)(C)(-1，03，+)(D)(-，-1)0，3,课 前 热 身,C,3.不等式 的解集为_,2.xxg(x)f(x)h(x)是xxf(x)-h(x)(f(x)-g(x)0的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件,A,4.关于x的不等式x3+13a2x5ax2+9a3的解集是_ 5.方程x2-3mx+m=0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则m的取值范围是_.,xxa,m|1/2 m4/5,能力思维方法,1.解不等式,2.已知关于x的不等式(ax-5)/(x2-a)0的解集为M.(1)当a=4时，求集合M；(2)若3M，且5M.

20、求实数a的取值范围.,【解题回顾】(1)解分式不等式常用序轴标根法，(2)3M，所以3是不等式的解，也即满 足不等式，5M，所以5不是不等式的解，则5在M补集中，本题易把25-a=0丢掉.,3.已知a0，不等式|x-4|+|x-3|a在实数集R上的解集不是空集，求a的取值范围.,【解题回顾】此题所用的构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法.,变题1 若不等式|x-4|+|x-3|a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围.,变题2 若不等式|x-4|-|x-3|a的解集在R上不是空集求a的取值范围.,变题3 不等式|x-4|-|x-3|a在R上恒成立，求a的取值范围.,延伸拓展,【解题回顾

21、】本题亦为含有参数的不等式，但不是常见的就参数的取值讨论不等式的解，而是就不等式成立这一结论，去研究参数的范围.两者各尽其妙，不可偏废.此外，通过本题，可培养学生研究问题的意识、方法与习惯，应予关注.,5.一位同学写了一个不等式：(1)他发现当c1、2、3时不等式都成立，试问：不等式是否对任意的正数c都成立?为什么?(2)对于已知的正数c，这位同学还发现，把不等式右边的“”改成某些值，如-c，0等，不等式总是成立的，试求出所有这些值的集合M.,(1)直接作差，造成运算量较大，容易出现错误.,误解分析,(2)在运用基本不等式时，不考虑等号是否取得.即不讨论c的取值范围，致使结果不全.,第6节 不

22、等式的综合应用,要点疑点考点,1.近几年的高考试题中，不等式的应用已渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容中，涉及的深度、范围也在提高和增大，体现了不等式内容的重要性、思想方法的独特性.既有一般的解不等式(组)和证明不等式的题，也有将其作为数学工具应用的试题.,2.本课时的重点是通过不等式应用的复习，提高综合运用各种数学知识的能力，以及通过建立不等式模型解应用题,提高分析问题和解决问题的能力.不等式的应用是不等式的重点内容，它在中学数学有着广泛的应用，主要表现在：(1)求函数的定义域、值域；(2)求函数的最值；(3)讨论函数的单调性；(4)研究方程的实根分布；(5)求参数的取值范围；

23、(6)解决与不等式有关的应用题.,3.用题中有一类是寻找最优化结果的，通常是把问题转化为不等式表示的模型，再求出极值.,课 前 热 身,1.如果函数ylog(1/3)(x2-2ax+a+2)的单调递增区间是(-，a，那么实数a的取值范围是_.,-1a2,B,3.若关于x的方程9x+(4+a)3x+40有解，则实数a的取值范围是()(A)(-，-80，+)(B)(-，-4)(C)-8，4)(D)(-，-8,D,4.设a，b，cR，ab2且ca2+b2恒成立，则c的最大值为_.,4,5.不等式ax2-bx+c0的解集是(-1/2，2)，对于a、b、c有以下结论：a0；b0；c0；a+b+c0；a-

24、b+c0.其中正确结论的序号是_,、,能力思维方法,1.已知实数，满足+0，+0，0，证明，都大于0.,【解题回顾】(1)等比数列的前n项求和公式的运用时注意公比q的讨论.(2)第2小题是从Tn中变形出Sn，利用(1)中Sn0可简化运算，再转化为求函数的最值问题.3.若抛物线c：yax2-1上总存在关于直线l：x+y0对称的两点，试求实数a的取值范围.【解题分析】求a的取值范围，关键是设法导出a的不等式.可考虑由判别式导出不等式.,2.已知等比数列an的首项a10，公比q-1，且q1，前n项和为Sn；在数列bn中，bnan+1-kan+2，前n项和为Tn.(1)求证：Sn0；(2)证明若Tnk

25、Sn对一切正整数n成立，则k-1/2.,【解题回顾】(1)等比数列的前n项求和公式的运用时注意公比q的讨论.(2)第2小题是从Tn中变形出Sn，利用(1)中Sn0可简化运算，再转化为求函数的最值问题.,3.若抛物线c：yax2-1上总存在关于直线l：x+y0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围.,【解题回顾】上面的解法是由判别式导出a的不等式的，本题还可以由均值不等式或由点与曲线的位置关系导出a的不等式.,【解题回顾】(1)本小题是利用x+1/x与x2+1/x2，x4+1/x4之间的关系用配凑法求得.(2)通过换元，利用一元二次方程的实根分布知识求解.(3)把恒成立问题转化为求函数的最值，本题

26、利用函数的单调性求最大值.,4.设xlogst+logts，ylogs4t+logt4s+m(logs2t+logt2s)，其中，s1，t1，mR.(1)将y表示成x的函数yf(x)，并求f(x)的定义域；(2)若关于x的方程f(x)0，有且仅有一个实数根，求m的取值范围；(3)若f(x)0恒成立，求m的取值范围.,延伸拓展,【解题回顾】本题是函数与不等式的综合题，对于(3)是已知两参数a、x的范围，求另一参数m的范围.此类题的做法是先消去一参x，后求m范围.,5.已知f(x)是定义在-1，1上的奇函数，且 f(1)1，若a，b-1，1，a+b0有(1)判断函数f(x)在-1，1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；(2)解不等式(3)若f(x)m2-2am+1，对所有x-1，1，a-1，1恒成立，求实数m的取值范围.,误解分析,不等式问题大多需要“等价转化”，而能否确保转化“等价”是解题成败的关键.,