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1、随机变量的数字特征,随机变量概率分布(或密度函数)及分布函数能全面了解统计规律性，可以计算随机变量取各个值或一个区间的概率大小。,但在实际中，很难得到一个精确的密度函数及分布函数，再者有时只需知道随机变量的一些特征就可说明实际问题，如平均值和离散程度。,数字特征就是用来表示平均值和离散程度等的量，分两类：1、表示随机变量均值特征(大小或位置)的数学期望、中位数、众数等；2、表示离散程度的方差、变异系数、协方差等。,2.1 数学期望,离散型随机变量数学期望连续型随机变量数学期望随机变量函数的数学期望,一、数学期望定义,(一)离散型随机变量的数学期望,例1 某人在某游戏中所得分数X的分布列为：,，
2、求所得分数X的平均值。,解：假设进行了N次游戏，当N足够大时，可认为：NP1次得1分，NP2次得2分，NP3次得3分。,总分数为 0NP0+1NP1+2NP2+3NP3,故X的平均值=总分数/N,=1P1+2P2+3P3=1x0.2+2x0.5+3x0.3=2.1,定义1 设离散型随机变量X的概率分布为 P(X=xi)=pi(i=1,2,),(二)连续型随机变量的数学期望,定义3 设连续型随机变量X的密度函数为f(x),例3 随机变量X的密度函数为,求E(X),(三)随机变量函数的数学期望,离散型随机变量X的概率分布为P(X=xi)=pi(i=1,2,)，则其函数Y=g(X)的数学期望为,连续
3、型随机变量X的密度函数为f(x),则其函数g(X)的数学期望为,案例2-22,(四)数学期望的性质,1、C为常数 则E(C)=C,2、C为常数 则E(CX)=CE(X),3、E(XY)=E(X)E(Y)(可推广到多个随机变量),4、设X,Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)(可推广到多个随机变量),P33,三、中位数、众数和分位数,1、中位数(Median),定义5 设X为一随机变量，若存在实数x,有,则称x为X的中位数，记作 Me,例6 设X的概率函数为,求X的中位数。,解 因为PX1=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=0.1+0.2+0.4=0.70.5,而PX1=P(X=
4、1)+P(X=2)=0.4+0.3=0.70.5,所以X的中位数Me=1。,(3)中位数可能不是样本值。,注意(1)中位数可能不唯一.,(2)连续型随机变量中位数是F(x)=1/2的解.,2、众数(mode),定义6(离散型)设随机变量X的分布律为P(X=xi)=pi(i=1,2,)，且x1,x2,xn由小到大排列，若存在xk,有 pk-1pk+1，则称xk为X的众数，记作 Mo,例9 设X的概率函数为,求X的众数。,解 因为P(X=1)P(X=0)且P(X=1)P(X=2)，所以X的众数Mo=1,3、分位数(临界值),定义9(右侧分位数)设X为一随机变量，若存在数x,满足,则称x为X概率分布
5、的右(上)侧分位数(临界值)。,定义10(双侧分位数)设随机变量X概率分布关于x=0对称，若存在数x/2,满足,则称x/2 为X概率分布的双侧分位数(临界值)。,由右图易见，对关于x=0对称的图形有：左侧临界值 u1-/2=-u/2,例11 若随机变量XN(0,1),求下列右侧和双侧临界值 u0.05 u0.05/2 u1-0.05 u0.975,解 查p194 附表4 u0.05=u0.1/2=1.64,u0.05/2=1.96,u1-0.05=-u0.05=-1.64,u0.975=-u0.025=-u0.05/2=-1.96,书后附录中列出了一些常用概率分布的临界值表，都是按上述原理编制
6、的，实际中经常用到，应会查。查表时要注意是上侧临界值表还是双侧临界值表，并注意值的转换。,小 结,1、基本概念：数学期望、分位数、中位数、众数、百分位数。,2、基本性质与运算：数学期望性质及运算。,方 差,一、方差(Variance),例12 设甲乙两位射击运动员各射击5次，其射击环数X1和X2如表所示,试比较两人的技术水平。,解 虽然E(X1)=E(X2)=9.82，但并不能说明两人的技术水平相同，因为甲的数据与E(X1)都很接近，但乙较分散，说明甲的技术水平较稳定。,离差(dispersion)-对随机变量X,把X-E(X)称为X的离差。描述随机变量各个取值与数学期望的离散程度.,要描述随
7、机变量分布的离散程度，需要求出离差的均值,但显然E(X-E(X)=0(因离差有正有负)。这时可能考虑用E|X-E(X)|表示离散程度大小，但式中有绝对值，计算时麻烦，所以用EX-E(X)2代替，从而得到方差。,可见，数学期望不能全面说明随机变量的分布特征，还需要研究随机变量对其数学期望的离散程度。,1、方差定义 设X是一随机变量，若EX-E(X)2存在，则称它为X的方差，记作V(X),即,对于离散型随机变量X,对于连续型随机变量X,例13 设离散型随机变量的分布列为,求：E（X），D（X）。,2、方差的性质,(3)设X,Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)(可推广到多个随机变量),证明 D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2=E(X-E(X)+(Y-E(Y)2,=EX-E(X)2+2EX-E(X)EY-E(Y)+EY-E(Y)2,=V(X)+V(Y),
