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1、3.1.1数系的扩充与复数的概念,数系的扩充与复数的概念,从社会生活来看，数的概念是从实践中产生和发展起来的，人类早在蒙昧时代就已具有识别事物多寡的能力。开始时用手指计数，当手指不敷运用时，用小石子检查放牧归来的羊的只数，出现了石子记数；用结绳的方法统计猎物的个数，称为结绳记数；用在木头上刻道的方法记录捕鱼的数量为刻痕记数等等。,数系的扩充,历史回眸,为了记数的需要产生了自然数；为了测量产生了分数；为了刻画相反意义的数产生了负数；为了解决度量正方形对角线长的问题出现了无理数,从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的。在自然数集中，方程x+4=0无解，要使x+4=0有解，从而引入_.自然
2、数集扩充到整数集；在整数集中，方程3x-2=0无解，要使3x-2=0有解，为此引入_.整数集扩充到有理数集；在有理数集中，方程x2-2=0无解，要使x2-2=0有解，为此引入_，有理数集扩充到实数集。,问题1：以上数系扩充的过程是_.,负数,分数,无理数,N,Z,Q,R,问题2：在实数集中，方程x2+1=0无解.我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？,引入一个新数：,满足,我们这样引入一个新数 i，把 i 叫做虚数单位，并且规定：,（1）,引入新数，完善数系,（3）实数与 i 进行四则运算时，原有的运算律（包括交换律、结合律和分配律）仍然成立。,（2）实数可以与
3、i 进行四则运算：,如：实数a与数 i 相加记为：a+i,i,实数b与数 i 相乘记为：bi,实数a与实数b和 i 相乘的结果相加记为：a+bi,复数有关概念,1、定义:形如a+bi（aR，bR）的数叫复数,其中i叫虚数单位。,注意:复数通常用字母z表示，即复数a+bi（aR，bR)可记作:z=a+bi（aR，bR），这一表示形式叫做复数的代数形式。,复数Z=a+bi(aR，bR)把实数a，b 叫做复数的实部和虚部。,全体复数所组成的集合叫复数集，记作：C。,说出下列复数的实部和虚部,练一练,观察复数的代数形式,其中 称为虚数单位。,当a=_且b=_时，则z=0,当b=_时，则z为实数,当b_
4、时，则z为虚数,当a=_且b_ 时，则z为纯虚数,0,0,0,0,0,0,复数的分类,2、复数a+bi,思考？,3.复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？,复数集,虚数集,实数集,纯虚数集,（2）当，即 时，复数z 是虚数,（3）当,即 时，复数z 是纯虚数,区别实数虚数的准则：判断实部或虚部是否为0,解:（1）当，即 时，复数z 是实数,练一练：,1.说明下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。,0,2、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z=a一定不是虚数,一般对两个
5、复数只能说相等或不相等；不能比较大小。,复数的相等,a+bi=c+di,a=c且b=d,注意,例2 已知，其中,求,解题思考：,复数相等的问题,转化,求方程组的解的问题,一种重要的数学思想：转化思想,解：根据复数相等的条件知，,解得,练习,m=0,x=4,y=-2,x+y=2x+3yy-1=2y+1,是纯虚数，,求实数 的值。,2、如果,求实数 的值。,1.虚数单位i的引入,课堂小结,实数虚数,复数,纯虚数非纯虚数,4.复数相等,2.复数的代数形式,5.数学思想方法：转化思想,3.分类,随着人类文明的进步，数系实现了自然数集 整数集 有理数集 实数集 复数集的扩充，那么随着生产生活实践的客观需
6、求，数系还能进一步扩充吗？有待同学们去探索去发现！,再见,作业布置,练习A组:1、2、3,练习B组：1、2,思考题：已知方程(1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0有实数解,a为实数，求a的值.,关于无理数的发现 古希腊的毕达哥拉斯学派认为,世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.,思考题：已知方程(1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0有实数解,a为实数，求a的值.,解：设方程的实数解为x0,代入方程化简得,
