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1、第2章 时域离散信号与系统频域分析基础,引言序列的z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换性质离散信号与系统分析,2.1 引言,案例 时域信号频谱分析在信号噪声滤除中的应用。,2.2序列的Z变换与Laplace/Fourier变换的关系,时域离散信号的Z变换及其收敛域z变换的定义及其收敛域z变换的收敛域与序列之间的关系z反变换 序列的z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系,ZT的定义,z 是复变量，所在的复平面称为z平面,时域离散信号的z变换及其收敛域,时域离散信号的z变换及其收敛域,ZT的收敛域,对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z
2、)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。Z变换存在的条件：级数收敛的充要条件是满足绝对可和,收敛域（ROC：region of convergence）:一般收敛域用环状域表示,时域离散信号的z变换及其收敛域,常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示X(z)的零点:分子多项式P(z)的根;X(z)的极点:分母多项式Q(z)的根;在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。,z变换的收敛域与序列之间的关系,1）有限长序列,除0和两点是否收敛与n1和n2取值情况有关外，整个z 平面均收敛。,如果n20，则收敛域不包括点 如果n10，则收敛域不包括0点 如果n
3、10n2，收敛域不包括0、点,2）右边序列,因果序列,的右边序列Roc:因果序列的z变换必在 处收敛在 处收敛的z变换，其序列必为因果序列,3）左边序列,4）双边序列,例1:,收敛域应是整个z的闭平面,例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域,例3：求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域,例4：求x(n)=-anu(-n-1)的变换及其收敛域,给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内,结论：,z反变换,实质
4、：求X(z)幂级数展开式z反变换的求解方法：围线积分法（留数法）部分分式法 长除法,z反变换:从X(z)中还原出原序列x(n),根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即而 其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。,围线积分法求解（留数法）,若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：,利用留数定理求围线积分，令,若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：,留数的计算公式,单阶极点的留数：,N阶极点的留数：,单阶极点的留数：,N阶极点的留数：,思考：n=0、
5、1时，F(z)在围线c外也无极点，为何,部分分式展开法,X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：,对各部分分式求z反变换：,常见序列Z变换,幂级数展开法求解（长除法）:,一般X(z)是有理分式，可利用分子多项式除分母多项式（长除法）得到幂级数展开式，从而得到x(n)。,级数的系数就是序列x(n),根据收敛域判断x(n)的性质，再展开成相应的z的幂级数 将X(z)X(z)的 x(n)展成z的 分子分母 按z的 因果序列 负幂级数 降幂排列 左边序列 正幂级数 升幂排列,解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数,解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数,序
6、列的z变换与连续时间信号的Laplace变换、Fourier变换的关系,序列的z变换：,连续时间信号的Laplace变换：,连续时间信号的Fourier变换：,1、序列的z变换&理想抽样信号的Laplace变换,理想抽样信号：,其Laplace变换：,其z变换：,比较理想抽样信号的Laplace变换：,得：,z平面：（极坐标）,抽样序列的z变换=理想抽样信号的Laplace变换,s平面到z平面的映射是多值映射。,:,:,:,:,2、序列的z变换&理想抽样信号的Fourier变换,抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的Fourier变换,Fourier变换是Laplace变换在虚轴上的特例
7、。,即:s=j,映射到z平面为单位圆,数字频率w表示z平面的辐角，它和模拟角频率的关系为,在以后的讨论中，将用数字频率w来作为z平面上单位圆的参数，即,所以说，数字频率是模拟角频率的归一化值，或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2p,2.3 离散时间傅里叶变换（DTFT）,一、DTFT的定义,变换对：,称为离散时间傅里叶变换（DTFT）。,DTFT存在的充分必要条件是：,x(n)绝对可和是x(n)的傅里叶变换存在充要条件；如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。,解：由定义得 其中,下图2.7画出了 与 的图形。,N=5点矩形序列的傅里叶变换
8、,二、比较ZT和DTFT的定义：,利用ZT和DTFT的关系可以由ZT计算DTFT。,序列的傅里叶变换是序列的z变换在单位圆上的值,例1、计算矩形序列RN(n)的DTFT,(类似Sa(.)函数),(线性相位),解：,DTFT,幅频特性：,相频特性：,图示说明：,N=8点矩形序列的傅里叶变换,2.4 序列傅里叶变换的性质,序列的Fourier变换和反变换：,2.4 序列傅里叶变换的性质,1.DTFT的周期性,2.时移与频移,3.DTFT的时域卷积定理,4.DTFT的频域卷积定理,5.DTFT的对称性,6.DTFT的帕斯瓦尔定理,N为整数,因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。这样X(ej
9、)可以展成傅里叶级数，x(n)是其系数。,1.DTFT的周期性,2.时移与频移,设X(e j)=DTFTx(n)，那么,3.时域卷积定理,DTFT x(n)*h(n)=X(e j)H(e j),4.频域卷积定理,设 y(n)=x(n)h(n)，则,线性性：,序列线性加权：,序列翻褶：,序列共轭：,其他性质,5.DTFT的对称性质,定义：共轭对称序列：,共轭反对称序列：,任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:,其中：,其中：,同样，x(n)的Fourier变换 也可分解成：,对称性质,序列 Fourier变换,实数序列的对称性质,序列 Fourier变换,实数序列的Fourier变换满足共
10、轭对称性,实部是的偶函数虚部是的奇函数,幅度是的偶函数幅角是的奇函数,6.帕斯维尔(Parseval)定理,2.5 离散信号与系统分析,系统的系统函数与频率特性系统因果性与稳定性分析 零极点图辅助分析系统的频率特性 系统的输出响应,系统的系统函数与频率特性,LSI系统的系统函数H(z)：单位抽样响应h(n)的z变换,其中：y(n)=x(n)*h(n)Y(z)=X(z)H(z),系统的频率响应：,单位圆上的系统函数,单位抽样响应h(n)的Fourier变换,系统的频率响应的意义,1）LSI系统对复指数序列的稳态响应：,输出同频 序列幅度受频率响应幅度 加权相位为输入相位与系统相位响应之和,2）L
11、SI系统对任意输入序列的稳态响应,1、LSI系统因果稳定性分析,稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆，即频率响应存在且连续,H(z)须从单位圆到的整个z域内收敛即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内,1）因果：,2）稳定：,序列h(n)绝对可和，即,而h(n)的z变换的Roc：,3）因果稳定：Roc：,零极点图分析系统的频率特性,常系数线性差分方程：,取z变换,则系统函数,利用H(z)在z平面上的零极点分布,频率响应：,零极点图分析系统的频率特性,则频率响应的,令,幅角：,幅度：,零点位置影响凹谷点的位置与深度零点在单位圆上，谷点为零零点趋向于单位圆，谷点趋向于零极点位置影响凸峰
12、的位置和深度极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷极点在单位圆外，系统不稳定,一 N 阶线性系统的差分方程为 即有,系统的输出响应,如果输入为因果序列，系统的初始条件为：,系统的输出响应,式（2-62）中右边第一项与初始条件无关，只与输入有关，为系统的零状态响应；而右边第二项只与系统的初始条件有关，与输入信号无关，为系统的零输入响应，所以输出为系统的全响应。,系统的输出响应,例 已知系统的差分方程为 输入信号，初始条件为。求系统输出响应。,解：对给定的系统输入和系统差分方程取 变换，得 代入初始条件并整理，得 取上式收敛域为，则有,系统稳态响应,零状态响应：,输出响应：,稳态响应：,系统稳态响应,系统稳态响应,若系统稳定，则稳态响应为：,例2-14 已知系统函数为 输入信号为单位阶跃信号，求系统的输出响应。,解：系统的输出响应 将系统函数进行部分分式分解，得系统的稳态响应为,【本章知识点小结】,序列的z变换和反变换；序列的z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换之间的关系；离散时间傅里叶变换的概念及物理含义；离散时间傅里叶变换的性质；零极点分布与系统的因果性、稳定的关系；能够应用MATLAB实现系统的频域分析和时域分析。,本 章 结 束,
