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1、1.5 时间序列的信号模型 1.5.1 时间序列信号模型的概念,描述平稳随机序列的统计特性有以下三种方式：自相关函数；功率谱(密度函数)；时间序列信号模型,如图所示。该信号模型表示：平稳随机序列,可以看成是由白噪声序列源 激励一个线性系统 产生的.,这里信号模型的输入-输出关系满足下列 阶差分方程:或者写成（）式中,系数.是均值为零,方差为 的白噪声序列,是我们要研究的平稳随机序列.系统函数可由式(1.5.1)的z变换得到:（）,由于输出端含x(n-k),因此存在反馈支路.ak是反馈(或自回归,AR)支路的系数,称为AR系数.bk是前馈(或滑动平均,MA)支路的系数,称为MA系数.,其中；另一
2、方面,由于输入-输出自相关函数的关系为(1.5.3)式中,为系统的冲激响应函数.上式的z变换为令,同时考虑到,得到 的功率谱为(1.5.3),由以上分析可知,随机序列 的自相关函数和功率谱均与信号模型参数(阶次和系数)有关,因此可采用这些模型参数来估计 和 信号模型法是一种研究平稳随机序列的有效方法.由于该模型是一种线性模型,它具有连续功率谱特性,因此在功率谱估计方面,显示出很大的优越性.1.5.2 三种时间序列信号模型根据方程中系数取值的情况,信号模型分为以下三种.1.滑动平均模型(Moving Average,简称MA模型)（1）差分方程与系统函数若,其它,则模型差分方程为(1.5.5)系
3、统函数(1.5.6),2.特点全零点模型(MA模型):只存在零点,没有除原点以外的极点;若全部零点都在单位园内,该系统则为最小相位系统,且模型是可逆的.2.自回归模型(Auto-Regressive,简称AR模型)（3）差分方程与系统函数 若,其它,则模型差分方程为(1.5.7)系统函数(1.5.8),即为FIR滤波器.,“自回归”的含义是:该模型当前的输出,是当前的输入和过去p 个输出的加权和.,该式说明x(n)是一个AR(p)过程.意指x(n)是由w(n)激励一个p阶的AR模型所产生的.,（4）特点全极点模型(AR模型):只存在极点,没有除原点以外的零点;若全部极点都在单位园内,模型才是稳
4、定的.3.自回归-滑动平均模型(简称ARMA模型)（1）差分方程与系统函数 若,而其它所有 与 都不为零,则模型的差分方程表示为:(1.3.9)系统函数(1.3.10),即为IIR滤波器.,自回归滑动平均Auto Regressive Moving Average,即ARMA,（2）特点极点-零点模型(ARMA模型);分子部分称为MA部分;分子部分称为AR部分,应分别满足稳定性和可逆性条件.,关于滤波器长度和阶数的说明:MA模型或RIR滤波器滤波器长度就是单位冲激响应bk的长度(有限长),即系数的个数.其阶数是差分方程或系统函数式中q的大小(等于长度减1).AR模型,ARMA模型或IIR滤波器
5、滤波器的单位冲激响应的长度是无限的,因此一般只讲它的阶数.阶数就是差分方程或系统函数式中p的大小.,典型IIR滤波器.,1.5.3 三种时间序列信号模型的适应性,1.MA及ARMA信号模型的普遍适用性沃尔德(wold)分解定理:任意一个实平稳随机序列 均可作如下分解：(1.3.11)其中，确定性信号部分(或不存在,或可事先去掉);具有连续谱分布函数的,有限阶平稳随机MA序列.由此可见MA信号模型具有普遍使用的性质.由于ARMA信号模型包含了MA模型部分,所以ARMA信号模型同样具有普遍使用的性质.2.AR信号模型的普遍适用性 任意一个MA序列,可用无限阶AR信号模型表示,或者用阶数足够大的AR
6、信号模型近似表示(证明见教材).,举例【1】假定 模型为求与其等价的AR模型.解:令 表示后移算子,即,于是 模型可表示为其中,设与 等价的AR模型为,则即可得,由上可见,AR模型参数 数目是无限的,它们的绝对值按一幂级数减少,即,其中 等价的AR模型具有无限阶数,但其参数 是按幂级数递减,故应选择合适的有限价 处截断,即用 模型近似.【2】设一 模型为求与其等价 的模型.解:方法同上,结果如下:【3】假定 模型为，求与其等价的AR模型.,解:方法同上,结果如下:因此,由于,故 模型参数 按幂级数 减少,愈近于零,减少愈快;而 愈近于1,减少愈慢.,自相关函数,功率谱与时间序列信号模型的关系,
7、上面已经说明,已知信号模型参数,可求得输出功率谱(用z变换形式表示)本节讨论,已知信号的功率谱(或自相关函数),如何按上式唯一分解出一个因果稳定的模型系统函数.1.有理谱信号 有理谱信号是信号模型输出的随机信号,其功率谱 是 或者 的有理函数.简要说明如下:由上式可知,若 是 的极点,则 是 的极点,因此,式中必包含下列因子:上式进一步表明 是 的函数,设,则令,得到这就说明有理谱信号的功率谱是 或者 的有理函数.2.谱分解定理（1）定理 如果功率谱 是平稳随机序列 的有理谱,则一定存在一个零极点均在单位园内的有理函数(1.3.12),满足,式中,都是实数,且,.解释:根据谱分解定理,若已知功
8、率谱(或自相关函数),就一定能唯一地求出等价的信号模型;谱分解的约束条件是,分解出的模型系统函数的零、极点必须都在单位园内部,这就保证了谱分解的唯一性.按谱分解定理分解得到的 一定是最小相位系统,因而模型具有可逆性(即必存在逆系统).,例题,例(谱分解:已知功率谱求信号模型)已知有理谱为将上式的 化成 和z变换的形式:上式可能分解的四种形式如下:a)零点,极点,零极点均在单位园内.,b)零点,极点c)零点,极点d)零点,极点以上四种分解结果,只有a)满足约束条件(零极点均在单位园内).例(已知信号模型,求等价的自相关函数和功率谱)已知一阶AR模型:,式中,是零均值,方差 的白噪声,设,试求与其
9、等价的自相关函数和功率谱.解一 由信号模型直接求功率谱,然后由功率谱再求自相关函数.根据模型差分方程得到系统函数为,功率谱和自相关函数分别为解二 由模型差分方程直接求自相关函数和功率谱.由模型差分方程得,例(功率谱是 的函数时,进行谱分解的方法)已知 的功率谱求其模型的系统函数.解(1)令,得有理函数:(2)求 分子,分母的根:分子的根:,分母的根:,(3)构造对每个 的方程:,可见,对每个 方程均有两个根:和,其中 在单位园内.(4)用单位园内的零极点构成,零点是分子多项式的根,极点是分 母多项式的根:由上式可得,a)设,根据题给条件对比,可得 即有 得模型系统函数 由于系统函数的全部特性仅决定于它的零极点的分布情况,而常数因子只影响其幅度大小,所以可取不同的 值来求.b)另设,得,模型系统函数,
