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1、13.1 时间序列的基本概念一、随机过程(Stochastic Processes)定义：我们称依赖于参数时间t的随机变量集合为随机过程。例如，假设样本观测值是来自无穷随机变量序列的一部分,那么,这个无穷随机序列称为随机过程,更准确地说是离散随机过程，离散随机过程也称随机序列。,例如，线性回归模型中的随机项构成一个时间序列u1,u2,un,设想这一时间序列是无穷时间序列中取出的一个样本，那么，这个无穷时间序列就是一个随机过程，即称随机时间序列。,二、时间序列的数字特征1.均值函数设 yt,t=1,2,是一个时间序列，称(t)=E(yt)(t=1,2,)(13.1.1)为时间序列 yt,t=1,
2、2,的均值函数。,虽然对于固定的t值，E(yt)是一个确定的数，但是，当t变化时，(t)是t的函数。,2.自协方差函数设 yt,t=1,2,是一个时间序列，称 r(t,s)=COV(yt,ys)=E(ytE(yt)(ysE(ys)(t，s=1,2,)(13.1.2)为时间序列 yt,t=1,2,的自协方差函数。,若 t=s,则称 r(t,t)=EytE(yt)2=V(yt)(t=1,2,)(13.1.3)为时间序列 yt,t=1,2,的方差函数，记为。方差函数表示时间序列 yt,t=1,2,在时刻t对均值(t)的偏离程度。,3.自相关函数 设 yt,t=1,2,是一个时间序列，称(t s)(1
3、3.1.4),为时间序列 yt,t=1,2,的自相关函数。,自相关函数是衡量序列 yt,t=1,2,中任意两个元素之间相关程度的量度。,三、平稳随机过程1.平稳随机过程的概念一个平稳的随机过程，在直观上可以看作一条围绕其均值上下波动的曲线，在理论上，我们把具有下列性质的随机过程称为宽平稳随机过程（简称为平稳随机过程）：,(1)E(yt)=(对所有t)(13.1.5)(2)V(yt)=常数(对所有t)(13.1.6)(3)COV()=E(yt-)(yt+k-)=rk(13.1.7)其中rk仅与yt和yt+k相隔的时期数有关，而与时间点t无关(对所有t和k)。随机过程是否具备平稳性对于时间序列预测
4、来说十分重要，这一性质保证了随机过程的结构不会随时间变化，这是进行准确预测的必要条件。,2.白噪声如果随机过程ut服从的分布不随时间改变，而且 E(ut)=0(对所有的t)(13.1.8)V(ut)=E()=常数(对所有的t)(13.1.9)COV(ut,us)=E(ut us)=0(t s)(13.1.10)那么，这一随机过程称为白噪声。很明显，白噪声是平稳随机过程,它是平稳随机过程的特例。,3.平稳随机过程的自相关函数对随机过程yt,元素yt与yt+k之间的自相关函数定义如下：,（）,自相关系数 的 序列(k=0,1,2,)称为自相关函数。当yt为平稳随机过程时,(13.1.12),其中(
5、13.1.13),由定义知，对任何随机过程0=1由公式(13.1.11)知，k是一个无量纲量。在实际计算时，我们只能计算样本自相关函数，其样本自相关函数定义为,（）,随机时间序列模型着重研究的是相关关系，因此自相关函数在时间序列模型中占有重要地位。,四、滞后算符为了运算的方便，我们引进滞后算符L，其定义：Lyt=yt-1(13.1.15)式中yt和yt-1是同一随机过程的元素。如果将L对yt连续应用两次，就有一般地，对任意正整数n，有(13.1.16),当n=0时，定义为(13.1.17)算符多项式定义为(13.1.18)例如将算符多项式作用于随机变量，(13.1.19)更一般地，还可以定义L的一个无穷幂级数：(13.1.20),设有两个算符 和，它们满足关系如下：(13.1.21)式中m和n可以为有限或无限。我们称 为 的逆算符(或称 为 的逆算符)，记作即(13.1.22),例如，当1时，对算符(13.1.23)便有(13.1.24),这是因为：,
