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1、-1-,第四节 对面积的曲面积分,对面积的曲面积分的概念与性质二 对面积的曲面积分的计算法,-2-,一 对面积的曲面积分的概念与性质,引例:设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想,采用,可得,求质,“大化小,常代变,近似和,求极限”,的方法,量 M.,其中,表示 n 小块曲面的直径的,最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,-3-,定义:,设 为有界光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f(x,y,z)叫做被积,据此定义,曲面形构件的质量为,曲面面积为,f(x,y,z)是定义在,上的一 个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域,则称此
2、极限为函数 f(x,y,z)在曲面 上对面积,函数,叫做积分曲面.,任意取点,叫做曲面面积元素。,-4-,则对面积的曲面积分存在.,对积分域的可加性.,则有,线性性质.,在有界光滑曲面 上,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.,积分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,连续,-5-,二 对面积的曲面积分的计算法,定理:设有光滑曲面,f(x,y,z)在 上连续,存在,则曲面,证明:由定义知,积分,且有,-6-,则,(光滑),取,-7-,同理如果,-8-,例1.计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,-9-,例2.计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表
3、面.,解:设,上的部分,则,与,原式=,分别表示 在平面,-10-,例3 计算,其中,是介于平面,之间的圆柱面,解,在,上,原式,-11-,例4 计算,其中,是由平面,围成的正八面体的表面.,解,设,由对称性得,-12-,例5 求抛物面壳,的质量,此壳,的面密度的大小为,解,-13-,例5 求均匀半球壳,的形心.,解,由对称性,半球壳的面积,-14-,三 积分的统一定义,定义,设Q 为一可以度量的有界的几何形状，,定义在Q 上的有界函数，,（其度量仍记为,作和式,记,当,时，,和式的极,限存在,（与Q的划分，点,在,取法无关），,则称此,极限为函数,在Q 上的积分，,记为,即,如果将Q 任意分割成n 个小的,可以度量的几何形状,在每个,上任取一点,-15-,
