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1、1,有限元方法与应用,授课教师：于申，张昭 研教楼304 蔡志勤，郑勇刚 研教楼204,2,参考书目,张昭，蔡志勤.有限元方法与应用，大连理工大学出版社，2011联系方式：联系地址：力学楼511Email：,考核方式,大作业（不低于3000字），100分。以小论文的格式，电子版交作业。,3,论文考核基本要求,文件命名规则：学号+姓名+院(系)格式：pdf论文内容包含：标题；学号+作者姓名+手机号码+邮箱；摘要；正文；结论；参考文献（不少于10篇）；,论文要求：独立完成、严禁抄袭；不少于3000字；截取计算结果图片时需保留计算时间等信息；所取图片未带有时间、或者时间标识不准确、或者不清晰(有从网
2、络上拷贝嫌疑)的论文成绩为F；提交论文后留意信箱和手机。,4,增压器涡轮机轮盘叶片组件弹塑性接触分析,轮轨接触,连杆接触,齿轮结构接触,搅拌摩擦焊接晶粒大小分布,星箭耦合模型,火箭模型,5,1.1有限元及有限元软件发展,每一种自然现象的背后都有相应的物理规律，对物理规律的描述可以借助相关的定理或定律表现为各种形式的方程（代数、微分、或积分）。这些方程通常称为控制方程（Governing equation）。针对实际的工程问题推导这些方程并不十分困难，然而，要获得问题的解析的数学解却很困难。人们多采用数值方法给出近似的满足工程精度要求的解答。有限元方法就是一种应用十分广泛的数值分析方法。,第一章
3、 绪论,6,工程和科学中典型问题,在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。把这类问题称为离散系统。离散系统：由有限个已经完全确定的元件组成的系统，如电阻及电阻网络，杆件及组成的桁架，水管及组成的水管网络。,7,如左图所示平面桁架结构，是由6个承受轴向力的“杆单元”组成。尽管离散系统是可解的，但是求解右图这类复杂的离散系统，要依靠计算机技术。,杆系结构,工程和科学中典型问题,8,第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。,
4、由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统，或场问题。,连续系统：可以被无限分割，其中的问题只有利用无穷小的数学观念才能定义，意味着由无限个单元组成。如一块受力平板，一个活塞，一根轴等。,工程和科学中典型问题,9,尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答，例如图示V6引擎在工作中的温度分布。为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方法。,工程和科学中典型问题,10,工程问题的求解思路,连续问题的一般描述微分方程+边界条件,工程和科学中典型问题,11,有限元方法（The
5、 Finite Element Method,FEM）是处理连续介质问题的一种普遍方法，是计算机问世以后迅速发展起来的一种分析方法。离散化是有限元方法的基础。然而，这种思想自古有之。古代人们在计算圆的周长或面积时就采用了离散化的逼近方法：即采用内接多边形和外切多边形从两个不同的方向近似描述圆的周长或面积，当多边形的边数逐步增加时近似值将从这两个方向逼近真解。,有限元法的形成与发展,12,ZienkiewiczCheungBatheCook钱令希,SAPANSYSALGORNASTRANADINA MARC,广义协调元无单元法自然单元法样条有限元有限元并行算小波有限元自适应有限元,拓展了有限元方
6、法,单元求解区域上插值,工程应用,工程实践中高性能计算,有限元法的形成与发展,13,1943年在Courant的论文中首次尝试使用定义三角形域上的分片连续函数和最小位能原理相结合求解S.Venant扭转问题。其本人并没有发展这个方法。当时其数学基础尚未完全建立起来。1956年,在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。一般认为这是工程学界上有限元法的开端。1960年，Clough在他的名为“The finite element in pl
7、ane stress analysis”的论文中首次提出了有限元(finite element)这一术语。约开始于1968年，这一次属于数值分析家。数学家终于认识了有限元的基本原理，事实上它是逼近论、偏微分方程及其变分形式和泛函分析的巧妙结合。,有限元法的形成与发展,14,此后，一些应用/计算数学家、物理学家和工程师从2条分支研究FEM，形成了成熟的理论体系。即：FEM离散格式、误差估计理论、解的收敛性等研究(应用/计算数学)研究的目的是建立完整的FEM理论体系，为工程应用奠定必备的理论基础。工程具体问题计算领域(计算物理/计算力学/工程学)研究的目的是面向具体工程应用问题，主要是离散格式研究
8、，通过考题(Benchmark)分析而不是理论分析验证解的收敛性，估计误差，为工程设计优化提供指导。,Institute of Mechanical Engineering and Automation,！国内长期从事FEM研究的有钱令希、唐立民、钟万勰、石钟慈、程耿东、龙驭球等。主要从事FEM方法改进研究。,有限元法的形成与发展,15,有限元(Finite element method)：假想把连续系统分割成数目有限的单元，单元之间只有在数目有限的指定点（称为节点）处相互连接构成一个单元集合体来代替原来的连续系统。,有限元法的基本思想,离散化,几何实体模型,有限元模型,16,单元与节点,单元
9、：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域。节点：单元与单元间的连接点。注意：节点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过节点传递，而单元边界不传递力，这是离散结构与实际结构的重大差别；,17,将连续体分割（离散）为有限个、且按一定方式相互联结在一起的小单元的组合体（单元之间在节点处连接）。用该离散结构（单元组合体）近似代替原来的连续体。,物理上的理解,如果合理地求出各小单元的力学特性，就可以求出单元组合体（离散结构）的力学特性，从而在给定的载荷和约束条件下求出各节点的位移，求出各单元的应力。由于单元可以有不同的大小，形状和类型，因此可以求解复杂的工程和科学问题。
10、,18,典型单元类型,19,70年代初MARC公司推出了第一个商业非线性有限元程序MARC。1978年HKS公司，推出了Abaqus软件。1975年非线性求解器ADINA(Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis)1977年Mechanical Dynamics Inc.(MDI)公司发展机械系统仿真软件ADAMS，应用于机械系统运动学、动力学仿真分析。1988年，LSTC公司，发行和扩展DYNA程序商业化版本LS-DYNA。1996年，ANSYS与LSTC公司合作推出了ANSYS/LS-DYNA21世纪后ANSYS公司把其产品扩展为AN
11、SYS Mechanical系列，ANSYS CFD（FLUENT/CFX）系列，ANSYS ANSOFT系列以及ANSYS Workbench和EKM等。,有限元软件的发展,20,Software Integration Platform for Engineering and Scientific Computation,http:/,21,常用有限元软件,22,ANSYS界面介绍,状态栏,ANSYS主菜单,ANSYS工具栏,标准工具栏,ANSYS实用菜单,ANSYS命令输入窗口,ANSYS图标按钮,23,所有的通用有限元软件都包括：前处理、求解器、后处理三个有逻辑顺序的模块。在进行实际工
12、程分析时，也该按照以上三个模块来进行。,用求解器进行求解（设定分析步骤，输出变量）,前处理（建模、材料特性、单元选择及网格划分）,后处理（变形图、等值线图，列表显示等等后处理）,24,主要内容,结构静力分析结构动力学分析非线性有限元分析温度场有限元分析,25,材料力学回顾（杆系结构）,应力状态分析 强度理论组合变形压杆稳定能量法动载荷问题疲劳,第2章 有限元基础理论2.1 弹性力学基础,简单变形,轴向拉压 剪切 扭转 弯曲,内力应力变形,静不定结构,静定结构,26,弹性力学与材料力学的联系 为何要有弹性力学？1、研究内容2、研究对象3、研究方法,弹性力学概念,弹性力学亦称为弹性理论。主要研究弹
13、性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而为工程结构或者构件的强度、刚度设计提供理论依据和计算方法。,27,研究内容的联系：材料力学：弹性变形体在外力作用下的平衡、运动等问题，及相应变形和应力弹性力学：弹性变形体在外力作用下的平衡、运动等问题，及相应变形和应力,弹性力学与材料力学的联系,基本没有区别,28,研究对象的联系：材料力学(研究变形体的第一门力学)：仅为杆、梁、柱、轴等杆状变形构件弹性力学：任意形状变形体,弹性力学与材料力学的联系,弹性力学研究对象更普遍,29,研究方法的联系：材料力学：要作出一些关于构件变形状态或应力分布的假设，例如拉压、扭转、弯曲平面假设，数
14、学推演简单,但解是近似的弹性力学：不作假设，数学推演复杂，但解比较精确,弹性力学与材料力学的联系,弹性力学研究方法更严密，但也更复杂,30,弹性力学基本假设,工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将使得问题无法求解。根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。基本假设是学科的研究基础。超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。,31,1、连续性(Continuity),整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留任何空隙。即，各个质点之间不存在任何空隙,好处：物体内的物理量,例如
15、应力形变和应变,才可能是连续的,才可以用连续函数来表示。,宏观假设,弹性力学基本假设,32,2、线弹性(Linear elastic),物体的变形与外力作用的关系是线性的，除去外力，物体可回复原状，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全线弹性材料,好处：应力应变之间的函数简化为线性函数，且材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变,弹性力学基本假设,33,3、均匀性(Homogeneity),整个物体是由同一种材料组成的，整个物体的各个部分具有相同的物理性质。,好处：各部分物理性质相同，不因位置改变而改变。可以截取任意部分为研究对象。,对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。
16、,弹性力学基本假设,34,4、各向同性(Isotropy),物体的力学性质沿各个方向都是相同的，实践表明，大多数材料在统计平均的意义上基本能满足这一假定。,好处：物体材料常数不随坐标方向改变而改变,像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。,弹性力学基本假设,35,5、小变形假定(Small deformation),物体的位移和形变是微小的.即物体的位移远小于物体原来的尺寸,而且应变和转角都远小于1,好处：变形与结构原尺寸相比属高阶小量，可略去因变形引起的结构尺寸变化，略去二次幂或者交叉相乘项，从而使弹性力学中的方程变为线性方程。,弹性力学基本假设,36,弹性力学的几个基本概念,1、
17、外力体力(body forces):分布在物体体积内的力.,设体积V包含P点,V中的体力为F,则,体力分量:体力 f 在 x,y 和 z 轴上的投影,分别记为 fx,fy,fz,37,2、外力表面力(surface forces):分布在物体表面的力.,设表面积S包含P点,S中的表面力为F,则,表面力分量:表面力 在 x,y 和 z 轴上的投影,分别记为,弹性力学的几个基本概念,38,3、内力、平均应力和应力.,内力(internal forces):物体本身不同部分之间相互 作用的力,应力(stress)：如果假设内力分布连续，命 A无 限减小并趋向 P点,则F/A 将趋向一个极限 p:,平
18、均应力(the average stress):设作用在包含P点某一个截面mn上的单元面积A 上的力为F，则F/A 称为A 上的平均应力；,弹性力学的几个基本概念,39,4、正应力与切应力,正应力(normal stress):应力在作用截面法线方向的分量：,切应力(shear stress):设应力在作用界面切线方向的分量：,单位 Pa,Pa=1 N/常用单位 MPa,1 MPa=106 Pa,弹性力学的几个基本概念,40,5、应力单元体,从物体中取出一个微小的正平行六面体，它的棱边分别平行于三个坐标轴，长度分别为dx,dy,dz.正平行六面体应力,切应力符号的含义,受力面的法线方向,力的方
19、向,应力张量（stress tensor）,弹性力学的几个基本概念,41,6、位移、变形、正应变、剪应变的概念,正应变和剪应变的量纲都为1，即无量纲。,位移（displacement）:物体发生变形后，物体内各点的位置改变（u,v,w）。变形（deformation）:形状的改变，它包含长度和角度的改变。正应变(线应变normal strain):各线段单位长度的伸缩：以伸长为正；缩短为负切应变(角应变shear strain):各线段之间的直角的改变：以弧度表示，直角变小为正；变大为负,弹性力学的几个基本概念,42,位移和变形,43,=+,直角改变量,正应变（线应变）和切应变（角应变）,44
20、,弹性力学基本变量小结,45,弹性力学的基本方程,46,弹性力学问题的研究方法,所谓弹性力学问题，就是在一定的已知条件下，运用数学方法求解弹性体内各点的应力、应变和位移分量。sx,sy,sz,txy,tyz,tzxex,ey,ez,gxy,gyz,gzxu,v,w由于一个空间力系 最多只有六个平衡方程，不足以求出上述所有的未知量，因此，需要综合静力、几何、物理三方面的条件，以求解全部未知量。弹性力学需要与现代计算技术相结合。,47,一般而言，弹性体内各点的应力分量是点的空间位置的连续函数,弹性力学的基本方程之平衡方程,48,以平面问题为例，截取正方形微元体，考察其平衡条件：,考察平衡条件：,（
21、1）沿x方向主矢投影为零（2）沿y方向主矢投影为零（3）关于任意点的主矩为零,弹性力学要求变形体的任意一点均满足平衡条件,弹性力学的基本方程之平衡方程,49,弹性力学的基本方程之平衡方程,50,同理,弹性力学的基本方程之平衡方程,51,略去高阶小量，得,剪应力互等定理,弹性力学的基本方程之平衡方程,52,二维问题平衡条件：,平衡方程：,弹性力学的基本方程之平衡方程,53,三维问题微元体的平衡：,平衡方程：,弹性力学的基本方程之平衡方程,54,弹性力学的基本方程之平衡方程,55,边界条件,考察物体边界处的微元体的平衡条件：1）从边界处取出的微元体一般是四面体；2）由于该微元体有一个面是物体的外表面，因此，该面上的表面力应计入平衡条件中。这样得出的边界条件称为力的边界条件。,56,57,边界条件(cont.),58,END,
