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1、October 9,2004,第四章-1,第四章弹性结构静力分析,October 9,2004,第四章-2,（3）等效节点载荷的计算,有限元法是以节点处的“力平衡条件”建立求解方程的，因此当单元内部存在体力或边界上存在面力时，必须通过某种方式将这些载荷转移变换到单元的节点处。在有限元法中，采用“静力等效原则”进行等效节点载荷计算。所谓“静力等效原则”是指，对任意虚位移，原来载荷与转换后的节点载荷在同一虚位移上的虚功相等。,October 9,2004,第四章-3,（3）等效节点载荷的计算,设有一均质、等厚度的三角形单元i,j,k受重力W的作用，其合力作用在单元的形心，试根据静力等效原则求转换到
2、节点上的等效载荷。,o,x,y,i,j,m,Yi,i,b,c,c,W,1、假设单元产生以下几何容许的虚位移：节点i只沿y方向移动单位1；而其余两节点j,k为铰支约束2、由于位移模式为线性函数变化，当节点i移动后，单元内部bi线段上各点位移均按直线移动，即变形后仍为直线bi；3、重力W作用在形心：bc/bi=1/3 当ii=1，则形心c沿y移动：cc/ii=bc/bi=1/3,4、所以可得：-W1/3=Yi1，Yi=W/3；同理可得：Yj=W/3，Yk=W/3；,October 9,2004,第四章-4,（3）等效节点载荷的计算,几种载荷的等效节点载荷计算。考虑单元中某一点(x,y)作用有集中载
3、荷P：,P=px,pyT对应等效节点载荷列阵为：Re=Xi,Yi,Xj,Yj,Xk,YkT单元内部产生虚位移，集中载荷作用点(x,y)的虚位移为：f=u,vT对应节点虚位移为：e=ui,vi,uj,vj,uk,vkT由位移模式有：f=Ne利用虚位移原理可得：(e)TRe=fTP=(Ne)TP利用矩阵乘积逆序法则：(e)TRe=(e)TNTP由于虚位移是任意的，则有：Re=NTP,October 9,2004,第四章-5,（3）等效节点载荷的计算,如果单元上有体力作用，沿x,y方向的体力分量为P=X,YT，相当于在点(x,y)处作用集中力为Ptdxdy，则等效节点载荷为：,如果单元某边界受有面力
4、q作用，沿x,y方向的面力分量为q=qx,qyT，若将微元体tds上的面力qtds当作集中载荷P，相当于在边界点(x,y)处作用集中力为P=qtds，则等效节点载荷为：,October 9,2004,第四章-6,（4）结构整体刚度矩阵的集成,对结构分析建立整体刚度矩阵的方法，是利用单元“节点的平衡方程”。用具体例题说明如下。,a,a,a,a,1,2,3,4,5,6,X2,X1,Y1,i,j,m,i,j,m,m,i,j,j,i,m,1,2,3,4,由于该结构有6个节点，节点自由度为12，即需要确定的节点位移参量为12个，应列出12个线性方程。这样，线性方程组的系数矩阵，也即总刚度矩阵有1212个
5、元素，按(x,y)分块后有66子矩阵。,October 9,2004,第四章-7,（4）结构整体刚度矩阵的集成,按节点编号列出总刚阵结构，每一个子阵先用零表示：,如果取U1=1，其余U2=U6=0,则有：K11=F1；K21=F2；K61=F6；则K11表示节点1作用单位1位移时，在节点1产生的载荷，其余类推。,=1=0=0=0=0=0,October 9,2004,第四章-8,（4）结构整体刚度矩阵的集成,建立每个单元的刚度矩阵，如对单元可表示为：,注意单元节点编号(i,j,m)与整体节点编号的对应关系：(i,j,m)=(5,3,2)当许多单元共用一个节点时，作用在该节点的合力就是每个单元刚
6、阵中具有相同下标子矩阵kij的迭加，也就是总刚阵中具有相同下标的元素，即：,October 9,2004,第四章-9,（4）结构整体刚度矩阵的集成,建立每个单元的刚度矩阵，如对单元可表示为：,注意单元节点编号(i,j,m)与整体节点编号的对应关系：(i,j,m)=(5,3,2),其中，kii=k55表示单元的节点5作用单位位移时在节点5产生的节点力；它应与总刚阵子阵K55迭加；kij=k53表示单元的节点3作用单位位移时在节点5产生的节点力；它应与总刚阵子阵K53迭加；kij=k52表示单元的节点2作用单位位移时在节点5产生的节点力；它应与总刚阵子阵K52迭加等，,October 9,2004
7、,第四章-10,（4）结构整体刚度矩阵的集成,即“相同下标的单元子阵元素相加”就可以得到该结构的总刚度矩阵元素为：,K11=k11(1)，K12=k12(1)，K13=k13(1)；K21=k21(1)，K22=k22(1)+k22(2)+k22(3)，K23=k23(1)+k23(3)；K31=k31(1)，K32=k32(1)+k32(3)，K33=k33(1)+k33(3)+k33(4)；K42=k42(2)，K44=k44(2)，K45=k45(2)；K52=k52(2)+k52(3),K53=k53(3)+k53(4),K54=k54(2)，K55=k55(2)+k55(3)+k33
8、(4)，K56=k56(4)K63=k63(4)，K65=k65(4)，K66=k66(4)；,October 9,2004,第四章-11,（4）结构整体刚度矩阵的集成,如果取泊松比=0，可得单元、的单元刚度矩阵是相同的，均为如下形式：,October 9,2004,第四章-12,（4）结构整体刚度矩阵的集成,利用这个结果，将相应的子阵代入总刚阵计算式中，经整理后可得该结构的总刚度矩阵为如下形式：,对称,October 9,2004,第四章-13,（4）结构整体刚度矩阵的集成,最后获得的线性代数方程为：,对称,October 9,2004,第四章-14,（5）代入边界条件,在建立了结构总刚度矩
9、阵后，就可以建立节点位移所满足的线性方程：K=R 式中，为全部节点位移列阵，R为全部节点载荷列阵。但由于没有代入边界条件，这个方程组的解是不确定的。从线性代数理论上讲，上述线性方程组是奇异的，即线性代数方程组的系数矩阵的行列式的值为零detK=0，因此线性代数方程组无法求解。这一点从力学意义上理解，是因为采用位移法求解时，如果对受载结构不引入符合实际的几何约束条件，则该结构将产生没有限制的刚体运动，显然解是不确定的。这一点反映在数学上，总刚度矩阵K是奇异的，即它的行列式的值为零，因而其逆阵不存在。因此对结构受力分析，要使有限元模型能够求解，必须保证至少有一个节点是完全固定的几何约束，即整个结构
10、不能存在刚性运动。,October 9,2004,第四章-15,（6）总刚度矩阵的特点,总刚度矩阵具有以下特点：1）对称性 很容易证明，总刚度矩阵是个对称矩阵。利用对称性，有限元程序只需存储对角线元素以上的部分即可，这样将节约一半的存储空间。2）稀疏性 总刚度矩阵是一个稀疏矩阵，其绝大部分元素都是零，非零元素只占总元素的很少一部分。对稀疏矩阵线性方程组，已建立了许多有效求解方法。在有限元程序中，只需存储非零元素，这样又可大大减少存储量，提高计算效率。3）带状分布 总刚度矩阵中的非零元素呈斜带状区域，对称分布在主对角线的两侧。总刚阵中每行包括主对角线元素的“半带中”非零元素的个数，称为“半带宽”
11、。应充分利用有效的节点编号方法，减小半带宽度，提高有限元程序计算效率。,October 9,2004,第四章-16,（4）结构整体刚度矩阵的集成,最后获得的线性代数方程为：,对称,October 9,2004,第四章-17,（7）有限元数值解的收敛准则,在此我们从物理意义对位移模式的要求作一分析：1）位移模式必须能反映单元的刚性位移 单元的刚性位移是指平移和转动，与单元的内部变形无关，它是由于其他单元发生了变形后而连带发生的，因此要正确反映单元的位移形态，位移模式中必须包含反映单元刚性位移的函数项，即常数项。2）位移模式必须能反映单元的常应变项 当单元的尺寸越来越小时，每个单元内的应变应趋于一
12、个确定的值。因此对有限区域（元）讲，所选择位移模式必须包含能描述上述特性的函数项，即包括两部分：一部分能给出常应变，另一部分给出与坐标有关的应变，即变量应变。由于变量应变随单元尺寸减小逐渐变小，因此常应变项为应变的主要部分。即位移模式至少需包含线性函数项。3）位移模式应反映实际结构位移的连续性 位移的连续性包括两方面要求：一是每个单元在整体结构变形后仍能保持为一个连续的构件；二是相邻单元的共同边界在变形后仍是连续的，不会发生脱离和重叠现象。这就需要假设位移模式必须是坐标的单值连续函数。,October 9,2004,第四章-18,（8）精度较高的平面单元简介,如前所述，线性位移模式的单元为常应
13、变单元，当单元尺寸较大时会产生明显误差。为减少离散化带来的误差，使所求得位移和应力能更好反映真实状态，可采用具有较高阶次位移插值函数的单元，即精度较高的平面单元。对平面问题，常用的较高精度单元是矩形单元和六节点三角形单元。,October 9,2004,第四章-19,（8）精度较高的平面单元简介,矩形平面单元：以矩形四个角点作为节点，节点局部标号用(i,j,k,m)表示，为简单起见，坐标系选在矩形单元的中心，如图所示。,x,y,o,i,j,k,m,a,a,b,b,ui,um,uk,uj,vi,vj,vk,vm,其中：,形函数为：,October 9,2004,第四章-20,（8）精度较高的平面
14、单元简介,六节点三角形平面单元：其节点布置如图所示，由于单元存在12个自由度，就可以采用完全二次多项式位移插值函数(见第三章讨论)：,x,y,o,i,j,k,m,l,这种单元也称为二次单元。有关应变矩阵B、应力矩阵S和单元刚度矩阵与上述推导思路完全相同，但推导过程十分复杂。在此不作进一步的讨论，可参见有关文献专著。,n,October 9,2004,第四章-21,（9）热应力的计算,工程结构在温度作用下的热应力分析问题十分普遍。如何利用有限元法计算由于温度变化所产生的热应力？总的讲有三种分析思路：1）如果结构温度分布已知，则可以将温度作为体载荷直接加在离散模型的节点上进行计算；2）间接法，用有
15、限元法首先进行温度计算，然后将求得节点温度作为体载荷加在结构应力分析中，温度和应力分开计算；3）直接法，将温度和应力耦合在一起进行计算，同时得到温度和应力分布。直接法或耦合法是最复杂得计算过程，也是最符合实际情况。对大多数结构热应力分析，都采用第二种间接法进行分析。我们在此仅介绍第一种温度分布已知的最简单情况。,October 9,2004,第四章-22,（9）热应力的计算,对于平面热应力问题，温度T仅是坐标x,y的函数T=T(x,y)，温度产生的体积膨胀或收缩只影响弹性体的正应变，此时材料的应力-应变关系变为:,将上式移项有：,温度产生的正应变,October 9,2004,第四章-23,（
16、9）热应力的计算,再改写成应力得形式，有：,引进记号：,温度产生的正应力,October 9,2004,第四章-24,（9）热应力的计算,代入单元刚度矩阵计算公式有：,上式中第二项表示由于温度作用而产生的节点力，对上式进行移项：,可以看出，当结构不受力时节点实际载荷并不存在，而包含温度的项就相当于作用在单元节点的“等效节点载荷”。,0=,October 9,2004,第四章-25,轴对称问题的单元分析,在工程实际中，如果结构的几何形状、约束条件及所受的外载都绕某一轴对称，则所有的应力、应变和位移也对称于此轴。这种问题称为轴对称问题。如各种压力容器、宇航结构、圆柱（筒）等都是轴对称问题。,在描述
17、轴对称问题时，采用圆柱坐标(r,z)比较方便。用相距dr的两个圆柱面，互成d角的两个垂直面，和两个相距dz的水平面，从弹性体中分离出一个小的微元体，用rr表示径向正应力，表示环向正应力，zz表示轴向正应力，剪应力分量rz=zr。,October 9,2004,第四章-26,轴对称问题的单元分析,任何一点只有两个位移分量：即沿r方向的径向位移u，和沿z方向的轴向位移w。由于对称性，垂直对称面的方向环向位移为零；剪应力分量r=r=0，z=z=0。这样在轴对称问题中，所求解的未知参量有：位移分量：f=u，wT；应力分量：=rr，zz，rzT；应变分量：=rr，zz，rzT；共计10未知参量。轴对称问
18、题分析就是在确定约束和载荷边界条件下，求解结构中上述10未知参量的分布规律。,October 9,2004,第四章-27,（1）轴对称问题基本方程,根据图所示微元体的在r和z方向的平衡条件Rr=0,Rz=0，可推导出轴对称问题的平衡方程为：,由几何关系，可导出几何方程为：,October 9,2004,第四章-28,（1）轴对称问题基本方程,由广义Hookes Law可得物理方程（应力-应变关系）为：,对称,October 9,2004,第四章-29,（2）位移模式,在轴对称问题中，以任一对称面(r,z)为研究对象。采用的单元是一些轴对称环形单元，其横截面（与rz面相交的截面）可以是各种平面形
19、状，就像平面问题在xy面上进行离散化。,r,(x),z,o,y,(),r,o,z,m,j,i,ui,uj,um,wi,wj,wm,October 9,2004,第四章-30,（2）位移模式,采用三角形单元对轴对称截面进行离散化，仿照平面问题，选择线性位移模式：,可以得到与平面问题类似的关系式，即：,其中，Ni=(ai+bir+ciz)/2A,(i,j,m)。,October 9,2004,第四章-31,（2）位移模式,在轴对称问题中，每个节点有四个应变分量，沿r方向径向正应变rr，沿方向环向正应变，沿z方向轴向正应变zz和在rz平面中的剪应变rz。由于对称性，其余两个剪应变r和z等于零。由几何
20、方程可得单元应变与节点位移得关系为:,其中，,式中，hi=(ai+bir+ciz)/r，(i,j,m)。注意此时环向正应变中包含坐标(r,z)，不是常量，但其他应变分量都是常量。,October 9,2004,第四章-32,（3）单元刚度矩阵,单元刚度矩阵可由三维条件下得普遍公式沿整个圆环单元求积分确定，即：,式中B矩阵见上式，由于被积函数与坐标r,z有关，上式右边积分不能简单给出。为了避免复杂积分元算，并消除对称轴上r=0产生得奇异性，可把每个单元中的r,z近似处理为常量，取为：,这样处理后被积函数变为常量，可求的单元刚度矩阵为：,October 9,2004,第四章-33,（3）单元刚度矩阵,其中子矩阵krs为：krs=2rABrTDBs上式中A是三角形单元的面积。将矩阵B和D代入经推导可求的krs为：,其中，g1=/(1-)，g2=(1-2)/2(1-)。,October 9,2004,第四章-34,（4）等效节点载荷,对轴对称问题，节点载荷是作用在整个圆环的点上的，如果节点的半径为r，单位圆环长度上作用的载荷分布为Fr（径向）和Fz（轴向），计算中采用的节点载荷应为：径向：2rFr，轴向：2rFz，当单位体积内作用体积力为：,由计算公式，可得节点等效载荷为：,当体积力为常数时，在被积函数中可近似取r,z的平均值，于是有：,
