机械工程测试基础第一章.ppt

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1、第一章 信号及其描述,第一节 信号分类与描述,一、信号的分类,1,信号的分类,确定性信号随机信号,连续信号离散信号,能量信号功率信号,周期信号非周期信号,准周期信号 瞬变非周期信号,平稳随机信号非平稳随机信号,模拟信号数字信号,（一）确定性信号与随机信号 按信号的规律性对信号分类。规律性强的信号不仅能反映当前状态，并且能预期其变化趋势。,1、确定性信号信号可表示为一个确定的时间解析函数，可确定其任何时刻 的量值,（1）周期信号按一定时间间隔而复始重复出现，无始无终的信号，可表示为：x(t)=x(t+nT0)(n=1,2,3,.)(11)式中 T0周期,（12）,2,单自由度无阻尼振动系统,(2

2、)非周期信号确定性信号中那些不具有周期重复性的信号。（a）准周期信号由两种以上周期信号合成，但其组成分量间无法 找到公共周期（但有离散频谱）。（b）瞬变非周期信号在一定时间区间内存在，且随时间增长而 衰减至零的信号。例如单质点自由度振动加上阻尼后，其质点位移x(t)可表示为：,衰减振荡信号,3,2、随机信号一种不能准确预测其未来瞬时值，也无法用数学关 系描述。它具有某些统计特征，均值、方差、均 方根等。由概率统计其过去值，来估计其未来值。平稳随机信号统计特征不随时间变化，具有各态遍历性，可用前段时间的统计特征来估计其未来的统 计特征。非平稳随机信号规律性极差。,4,（二）连续信号与离散信号 连

3、续信号数学表达式中独立变量取值是连续的信号。离散信号若独立变量取离散值，则称为离散信号。模拟信号_独立变量和函数都是连续取值的信号。数字信号_独立变量和函数都是取离散值的信号。,连续信号,x(t),t,0,离散信号,x(t),t,0,A/D,放大器,传感器,采样器,被测物体,模拟,脉冲模拟,模拟,离散,数字,计数器,数字,（三）能量信号和功率信号,x(t)电压信号，加到电阻R上，其瞬间功率为：,1/R 为常值系数，瞬间功率正比于电压信号平方。,这种信号称为功率有限信号或功率信号。,但它在有限区间（t1,t2）的平均功率是有限的，即,若信号在区间（-，+）的能量是无限的，即,（15）,（16）,

4、则认为信号的能量是有限的，并称之为能量有限信号，简称能量信号。,信号的能量为,当x(t)满足,(14),二、信号的时域描述和频域描述 用来描述信号变化规律的参考变量称为信号的描述域，信号表达成描述域为独立变量（自变量）的函数。一个信号可以用多种描述域建立不同函数关系，来反映不同的规律。x(t),x(k),X(f),(),检测希望采用能反映被测物理量本质特性的表达方式来描述信号。,时域以时间为独立变量来描述信号。直接观测到的信号。特点：直接反映信号幅值随时间变化的关系。,频域以频率为独立变量来描述信号。如视觉、听觉。特点：分解信号频率结构，呈现频率与幅值、频率与相位的关系。特征域以某些特征为独立

5、变量来描述信号。特点：复杂信号的描述，如语言信号识别。空间域以2D/3D空间为独立变量来描述信号。特点：信号是空间的函数，如图象信号识别。,7,式中,此式表明该周期方波由一系列幅值和频率不等，相角为零的正弦信号,此式可写成,其中=n0 n=1,3,5,可见，若视 t 为参变量，以为独立变量，则此式即为周期方波的频域描述。,将该周期方波应用傅里叶级数展开，可得,x(t)=x(t+nT0)x(t)=A 0 t T0/2-A-T0/2 t 0,例：右图一个周期方波的一种时域描述形式表示为：,叠加而成。,8,信号分析的基本概念 信号由多个分量复合而成，信号分析是把信号分解为各个分量，从中找出能代表物体

6、状态的分量或分量组合，更清晰、准确的反映物体的状态。信号分解基于函数内积的投影性质。两个矢量的内积的几何意义是分量或投影。G1 G2=|G1|G2|cosG1-G2 矢量的内积表达式也可用矢量在N维空间的坐标来表示：连续信号可视为无穷维矢量，两个同自变量的函数的内积定义为：Cn反映了信号x(t)在基函数n(t)上的分量、投影或相关性。n(t)为正交基函数集，信号x(t)可表示为基函数的加权和。,第二节周期信号与离散频谱,9,一、傅里叶级数的三角函数展开式,在有限周期区间上，凡满足狄里赫利条件的周期信号x(t)，均可展开成傅里叶级数。,（17）,式中常值分量,余弦分量幅值,正弦分量幅值,其中 T

7、0周期 0=2/T0（圆频率）n=1,2,3,an、bn分别是n0的两个独立的函数。,（18）,将式（17）改写成,（19）,式中,b n,a n,An、n也分别是n0的两个独立的函数，An为幅值、n为相位移，几何意义清晰，可分别作出幅频谱和相频谱。周期信号是由无数多个不同频率的谐波叠加而成的，各频率成分是0的整数倍，相邻频率间隔 称为n 次谐波。,11,例 求脉冲信号的频谱,付氏级数展开,令式中第一项t=-t,则,12,-T0/2,t,T0/2,0,-A,A,x(t),同理，令式中第一项t=-t，则,幅频谱和相频谱由各次谐波的幅值和相位移得出。,频谱图见表1-1。脉冲信号展开为各分量之和。,

8、13,=bn，,=0,二、傅里叶级数的复指数函数展开式,根据殴拉公式,将（1-11）（1-12）两式代入（1-7）式，得,（1-10）,（1-11）,（1-12）,(1-13),令,(1-14a),(1-14b),(1-14c),（1-7）,14,则,或,即以复指数为基函数来分解信号。将式（1-8）代入式（1-14b）和（1-14c）得,同理,合并为,(1-16),15,说明：,（1-17）,式中,（1-18）,（1-19）,与,共轭，即,;,2频谱图 把周期函数,展开为付里叶级数的复指数形式后，可分别为,作幅频谱图作相频谱图作实频谱图作虚频谱图,16,1.表示方法 一般情况下，cn 是复数，

9、可以写成,周期信号的频谱：离散谱、整数谐波、(次增幅减)。准周期信号的频谱？,3比较 比较付里叶级数的两种展开形式可知,复指数形式双边谱,奇函数,三角函数形式单边谱,偶函数,4负频率 当n 取负值时，谐波频率 为“负频率”，实际上角速度按其旋转方向可以有正有负。一个谐波频率的实部可以看成是两个旋转 方向相反的矢量在其实轴上投影和。其虚部则为两个旋转方向相反的矢量在虚轴 上投影之差。,17,第三节 瞬变非周期信号与连续频谱,瞬变非周期信号，常见下图所示,一傅里叶变换,瞬变非周期信号可以当成周期T0为无穷大的周期信号来分析，当,时，信号频谱中的频率间隔,无穷小。,谱线无限靠近，演变成一条连续曲线。

10、所以非周期信号的频谱是连续的，可理解将非周期信号由无限多个频率无限接近的频率成分所组成的。,18,设有一个周期信号在,区间以傅里叶级数表示为,式中,代入上式,当,(1-25),称为付里叶积分,19,上式原括号中积分中 t 为积分变量，故积分后为 的函数，,付里叶变换（1-26）,付里叶逆变换（1-27）,两者互称为付里叶变换对，可记为,把=2f 代入式（1-25）中，则式（1-26）和（1-27）变为,（1-28）,（1-29）,两种形式的关系为,(1-30),20,记为 X(),式中 为信号 的连续幅频谱，为信号 的连续相频谱。、用X(f)的虚、实部计算，方法同周期信号。,一般 是实变量f

11、的复函数，可以写成,（1-31）,注意：,非周期信号的幅频谱,和周期信号幅频谱,很相似，但两者是差别的，表现在量纲上。,的量纲与信号幅值量纲不一样，它是单位频宽上的幅值，更确切地说 是频谱密度函数。,量纲与信号幅值的量纲一样。,21,例1-3 求矩形窗函数 w(t)的频谱,定义：,（1-32）,解：,根据欧拉公式,代入上式,（1-33）,式中 T窗宽,上式中我们定义,图形见右图（图1-13）,22,函数只有实部，没有虚部。其幅频谱为,（1-34）,其相位频谱视 的符号而定，当 为正值时相角为零，为负值时相角为,23,二傅立叶变换的主要性质,信号的时域与频域描述靠傅立叶变换建立彼此一一对应的关系

12、，即,（一）奇偶虚实性,一般X(f)是实变量 f 的复变函数，有欧拉公式它可以写成,（1-35）,式中,（1-36）,（1-37）,24,x(t)为实函数,实部为偶函数,虚部为奇函数,x(t)为实偶函数,为实偶函数，,x(t)为实奇函数,为虚奇函数，,x(t)为虚偶函数,为虚偶函数，,x(t)为虚奇函数,为实奇函数，,了解此性质有助于估计傅立叶变换对的响应图形性质，减少计算。,25,由于余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数，有式（1-36）和（1-37）知,（二）对称性,若,证明：由,令,u 和f 对换,令 u=t,所以,证毕,26,（三）时间尺度改变特性,若,证明：,（1）当时间尺度压缩（k1

13、）时，见图c 其频谱的频带加宽，幅值降低。（2）当时间尺度扩展（k1）时，见图a 其频谱的频带边窄，幅值增高。（3）压缩时间尺度，可以提高处理信号效率，但后续处理频带加宽，容易失真。（4）扩展时间尺度，处理后续信号容易，但效率太低。,27,(四)时移和频移特性,1若,（1-40）,证明：,令 t=t-t0 代入上式,所以,式(1-40)说明将信号时域中平移，其幅频谱不变，而相位谱中相角的改变量 与频率 f 成正比，即。以表11的方波相频谱为例，其中，则基波频率为 相移为,28,三次谐波的频率为 3f0，则相移为,2如,（1-41）,证明：,令,所以,由欧拉公式知式（1-41）左侧是时域信号 x

14、(t)与频率为 f0 的正、余弦信号之和的乘积。描述了调频信号的调制过程。,29,（五）卷积定理,两个函数 和 卷积定义为,若,则,（1-42）,（1-43）,证明时域卷积,交换积分顺序,根据时移特性,证毕,证明频域卷积,交换积分顺序,根据时移特性,证毕,30,（六）微分和积分特性,由,（1-28）,（1-29）,对式(1-29)中t 进行微分,同理,（1-44）,对式(1-28)中f 进行微分,同理,（1-45）,同样可证明,（1-46）,31,2/T,32,三、几种典型信号的频谱,（一）矩形窗函数的频谱,从上例13中看出：,（1）一个在时域有限区间内有值的信号，其频谱却延伸至无限频率，称为

15、泄漏。（2）在时域中截取信号一段记录相当 x(t)w(t)W(f)*X(f)（3）在 f=0 1/T 之间的谱峰，幅值最大，称为主瓣，两侧峰值称为旁瓣。（4）主瓣宽度为2/T与时域窗宽度 T 成反比，T 截取时间长，主瓣宽度小，减小低频端的影响。高频泄漏部分衰减加快，减少了混叠现象的影响。,1,-T/2,T/2,t,0,x(t),Ie,Re0,Re0,Re,-4/T-3/T-2/T 1/T,1/T;2/T;3/T;4/T,f,-3/T,-2/T,f,3/T,-1/T,1/T,0,T,W(f),(f),0,（二）函数及其频谱,1函数的定义,在 时间内激发一个矩形脉冲（或三角脉冲、双边指数脉冲、钟

16、形脉冲等），其面积为1。,当 时，有,（1-47）,从面积（通常称其为函数的强度）的角度看,（1-48）,33,2函数的采样性质,由于(t)函数的性质,强度为f(0)的(t)函数,从数值上看,从面积（强度）看则为 f(0)，即,(1-49),同理，对于有延时t0的函数(t-t0)，它与f(t)乘积只有在t=t0时刻不等于零,即,积分,(1-50),从式（1-49）和（1-50）表明（1）任意函数f(t)与(t-t0)的乘积是一个强度为f(t0)的函数(t-t0)。（2）该乘积在有限区间的积分是f(t)在t-t0的值f(t0)（3）此性质描述了连续信号的采样过程，即离散化过程。,34,3函数与其

17、它函数的卷积,函数与x(t)的卷积为,由于函数为偶函数,所以,（1-50）,同理当函数为(t t0)时,可见,函数x(t)与 函数的卷积结果就是发生在 函数坐标位置上(坐标原点)简单将函数重构图，即描述了函数沿坐标轴的移动。,35,4(t)的频谱,(1-53),其逆变换为,(1-54),函数具有无限宽广频谱，而且是等强度的，也称为“均匀谱”。根据付里叶变换的对称性质、时移性质和频移性质，可得到以下付里叶变换对,时 域 频 域(t)1（单位瞬时脉冲）（均匀频谱密度函数）1(f)（幅值为1的直流量）（在f=0处有脉冲谱线）(t-t0)e-j2ft0（函数时移t0）(各频率成分分别相移-j2ft0)

18、ej2f0 t(f-f0)(复数指数函数)（将（f）频移到f0）,36,(1-55),（三）正、余弦函数的频谱密度函数,根据欧拉公式可推出,用式(1-55)付里叶变换对,(1-56),(1-57),看出：正、余弦函数是把频域中两个函数向不同频移后的差或和的付里叶逆变换，参见函数和频谱图。,37,（四）周期单位脉冲序列的频谱,此序列常称为梳状函数，并用comb(t,Ts)表示,（1-58）,式中 Ts周期 n=1,2,因此，此函数是周期函数。,表示为复指数函数形式,（1-59）,式中 fs=1/Ts，系数Ck为,因为在 区间内，式（1-58）中只有一个 函数(t)，且,所以,38,式（1-59）

19、变成,根据式（1-55）,可得comb(t,Ts)函数频谱comb(f,fs)也是梳状函数,(1-60),由图可见时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列。时域周期为Ts，脉冲强度为1，频谱周期为1/Ts，强度为1/Ts。,39,40,狄里赫利条件：（1）在一个周期内只有有限个不连续点。（2）在一个周期内只有有限个极大值和极小值。,（3）,41,证明(t)函数为偶函数,由,(A),令 t=-t 代入,(B),比较(A)和(B)两式，有,42,第四节 信号数字化出现的问题（第五章 第二节）,一、离散傅里叶变换 DFT 数字信号处理器 DSP 中，信号的描述域是离散的，时域与频域之间的转换需采用

20、 DFT。DSP 中的数据是对信号采样的有限数字序列。,在 DSP 中频域也是离散的，只取频率间隔f的整数倍，即 f=kf。其中频率间隔f为窗口时间宽度T的倒数。f=1/T=1/TsN，fTs=1/N-j2fnTs=-j2kn/Nn、k分别为时间序列号和频率序列的序号。在作 DFT 时，不论时间单位Ts和频率单位f为何值，都对应一个数组地址，故 DFT 变换对如下。,经傅里叶变换,由X(k)可求出频谱。注意：在频谱图中的单位是频率间隔f。,应用 DFT 需考虑以下几个问题：1.T/Ts=fs/f=N Ts小，则时间分辨率高；f小，则频率分辨率高；N大，则计算量大；须综合考虑分辨率与计算量的矛盾

21、。2.瞬变信号：增加窗口尺寸，有利于减小误差。3.周期信号：窗口尺寸应采用整数信号周期。4.以有限N项和替代无限项和，产生“截断误差”。,二、时域采样、混叠和采样定理,由付氏变换的卷积定理可知：经过时域采样的信号等效于频域信号与梳状函数作卷积。,右式表示幅度为X(f),周期为fs的梳状函数。fs小于二倍信号最高频率fn，则产生混叠现象，使信号失真。当fs高于二倍信号最高频率fn，X(f)的高频梳状分量可用滤波器滤除，不产生信号失真。,选择采样频率应满足 fs 2fn，避免产生混叠，造成信号失真。采用模拟滤波器滤除高频噪声，避免高频噪声混叠到低频段。考虑到滤波器的性能影响，通常取 fs 3-5f

22、n.对于确定的混叠噪声信号，如截断窗口产生的泄漏，可采用补偿措施予以消除。,三、截断、泄漏和窗函数,1.矩形窗 1|t|T/2 w(t)=0|t|T/2,2.三角窗 1-2|t|/T|t|T/2 w(t)=0|t|T/2,W(f)=T sinC(fT)频谱延伸至无限频率，称为泄漏。泄漏的高频信号被混叠到低频信号中，产生误差。,W(f)=T/2 sin(fT/2)三角窗主瓣宽度约为矩形窗的两倍，但旁瓣低，泄漏小，且无负值。,3.汉宁窗-cos(2t/T)|t|T/2 w(t)=0|t|T/2 W(f)=1/2 WR(f)+1/4WR(f+1/T)+WR(f-1/T),4.指数窗 exp(-at)

23、|t|0 w(t)=0|t|0,的特点是无旁瓣，但主瓣很宽，其频率分辨率低，抑制泄漏作用明显。适合用于脉冲响应信号。,主瓣宽度约为矩形窗的两倍，旁瓣衰减率为60B/10倍频程，明显降低，具有抑制泄漏作用。适合用于强截断信号。WR(f)为矩形窗函数,四、量化误差,数字信号的幅值用二进制数字表示，量化间隔为,其中 D 为A/D转换器的工作范围，b 为字长。量化误差最大为x/2。本章讨论了周期信号、瞬变信号及数字信号的时域频域转换方法及特点，他们的转换算法的差别仅在于基函数的指数（连续/离散）和积分域（周期/无穷）。数字信号的时域频域转换可能会产生采样误差、量化误差、舍入误差、结尾误差，正确的选择参数可避免这些附加的误差。,减小由泄漏造成的误差1.正确的选择截断窗口的形式和参数。2.采用补偿措施予以消除。,