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1、*,1,MEASUREMENTINFORMATION SIGNAL ANALYSIS IN MECHANICAL ENGINEERING,机械工程测试信息信号分析,机械科学与工程学院 机械电子信息工程系,*,2,课件资料下载：邮箱地址：密码：注意下载时不要删除原始文件,*,3,第六章 数字信号分析(I)DFT与FFT,*,4,6-5 现代谱分析方法-最大熵谱估计,6-3 FFT,6-4 谱分析与谱估计,6-2 离散傅立叶变换DFT,第六章 主要内容,6-1 模拟信号离散化时域采样定理频域采样定理周期序列的离散傅立叶级数,*,5,6-2、离散时间非周期信号频域分析,时域采样信号是以采样频率为周期
2、的周期连续频谱,按FT的时延性质可写为：,或,上式即为DTFT，它是以s(或s)为周期的周期函数，即,由于离散时间非周期信号可以看作是离散时间周期信号，当周期N的极限情况，故DTFT的定义式同样也可从离散时间傅里叶级数，当周期N时来求得：,*,6,6-2、离散时间非周期信号频域分析,当N，各谐波分量的复振幅X(k0)趋于无限小，因此如同CTFT，可采用频谱密度来描述频谱的分布规律。离散时间非周期信号的频谱密度函数，即离散傅里叶变换DTFT的定义式为：,当N，0=(2/N)d，k0=T，上式可写为：,*,7,6-2、离散时间非周期信号频域分析,X(ej)表示一个离散时间信号，即非周期序列的频谱密
3、度函数。当x(n)为有限长度N的序列，则有DFT：,IDTFT,DTFT,*,8,DFT图解分析,1、时域采样采样间隔Ts,频谱周期间隔为fs，谱的幅值是X(f)谱的fs倍。Ts减小，fs增大。,*,9,DFT图解分析,2、时域截断,采样点数为N,时域截断,时域截断,出现皱波，Gibbs现象产生的能量泄漏,截断后信号的频谱出现皱波，是矩形截断函数突变阶跃点作用的结果，减小措施：1、加长矩形函数的宽度T0；2、选取旁瓣较弱的窗函数。,连续函数,连续函数,*,10,DFT图解分析,3、频域采样,频域采样,频域采样,离散函数,*,11,DFT变化对,DFT正变换,DFT反变换,两个N维矢量的相互线性
4、变换,*,12,在一个周期内，可进行如下变换：,DFT简单推演,*,13,DFT的简单推演,*,14,视作n的函数，,视作k的函数，,这样,DFT的简单推演,DFT正变换,DFT反变换,*,15,1）将x(t)在t轴上等间隔(T)分段,2）将x(n)截短成有限长序列t=0T0，N个时域采样,对连续时间非周期信号DFT逼近,*,16,3）频域采样：一个周期分N段，采样间隔F0，时域周期延拓，周期为T0=1/F0，=2F0,频域采样,*,17,对连续时间非周期信号的DFT逼近过程1）时域采样2）时域截断3）频域采样,近似逼近：,对连续时间非周期信号DFT逼近过程,*,18,对连续时间周期信号的DF
5、S逼近,1）时域抽样：将x(t)在t轴上等间隔(T)分段,对连续时间周期信号的DFS逼近,*,19,2）频域截断：长度正好等于一个周期,近似逼近：,对连续时间周期信号的DFS逼近,*,20,频率响应的混叠失真及参数的选择,时域采样：,频域采样：,信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾(1)要增加信号最高频率fh，则fs要增加，当采样点数N给定，F0必增加，分辨率下(2)要提高频率分辨率，即F0变小，则T0=1/F0要增加，当N给定的时候，则记录长度T增加，采样频率减小，但要不产生频率混叠，fh必须变小。同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数N F0-频率分辨率，T0信号记录长度，TS为采
6、样间隔,*,21,频率分辨率,提高频率分辨率方法：增加信号实际记录长度 补零并不能提高频率分辨率,F0-频率分辨率，T0信号记录长度，TS为采样间隔,*,22,例 有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已知条件为（1）频 率分辨率为10Hz，（2）信号的最高频率4KHz，试确定 以下参量：（1）最小记录长度 Tp；(2)抽样点间的最大时间 间隔T;(3)在一个记录中的最小点数N。,解：,（a）最小记录长度,（b）最大的抽样时间间隔TS,(c)最小记录点数N,举例,*,23,信号最高频率fh的确定,*,24,三、离散傅里叶变换的性质,DFT
7、正变换和反变换：,*,25,DFT的性质-线性,这里，序列长度及DFT点数均为N若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且,若,则,1、线性,*,26,DFT的性质-时移特性,2、时移特性 在时域移位m，在频域出现相移因子Wmk 若将信号x(t)沿时间轴位移t0，则其FT要乘以因子 e-j2ft0,*,27,3、频移特性,时间函数x(n)乘以指数项 e j2ln/N，则DFT就向右圆移l单位,DFT的性质-频移特性,FT：,DFT：,*,28,(1)线卷积 x1(n)的长度为N1(0 n N1-1)x2(n)的长度为N2(0 n N2-1)x1(n)、x2(n)的线卷积为,
8、4、离散卷积,*,29,的非零区间为 的非零区间为 两不等式相加得 也就是 不为零的区间.,例1：,4、离散卷积-线卷积,运算步骤：反折、移位、相乘、取和,*,30,4、离散卷积-时域线卷积-举例,*,31,4、离散卷积-时域线卷积-举例,*,32,4、时域线卷积-举例2,时域线卷积例2：,*,33,时域圆卷积定理,(2)时域圆卷积定理 设 x1(n)和 x2(n)均为长度为N的有限长序列，且,*,34,(2)时域圆卷积过程步骤：反折、移位、相乘、取和,Y(0),Y(1),Y(2),Y(3),线卷积与圆卷积结果不一致，需补零补零扩展条件LN1+N2-1选取的L不够大，使卷积首尾交叠混淆,时域圆
9、卷积过程,*,35,补零时域圆卷积,*,36,离散时域卷积定理,两个周期为N的时域周期采样函数，它们的卷积的离散FT等于它们的离散FT的乘积对有限长序列求线卷积的问题，可转化为圆卷积求解，为FFT计算时域卷积提供依据,*,37,离散频域卷积定理,两个周期为N的时域周期采样函数，它们的乘积的离散FT等于它们的离散FT的卷积,*,38,DFT计算连续时间信号误差,1、用DFT计算连续时间信号的FT可能造成的误差(1)混叠现象 为避免混叠，由采样定理可知，须满足fS2fh 其中，fS为采样频率;fh为信号的最高频率分量；或者 其中，T为采样间隔。,*,39,(2)频谱泄漏 在实际应用中，通常将所观测
10、的信号限制在一定的时间间隔内，也就是说，在时域对信号进行截断操作，或称作加时间窗，亦即用时间窗函数乘以信号，由卷积定理可知，时域相乘，频域为卷积，这就造成拖尾现象，称之为频谱泄漏。,*,40,频谱泄漏,改善方法：,对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏,1）增加x(n)长度,2）缓慢截短(加窗),*,41,栅栏效应,(3)栅栏效应 用DFT计算频谱时，能计算频率F0=1/T0的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的频谱无法确定，这相当通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。解决方法：增加频域采样点数N（时域补零），使谱线更密。补零即加大周期T0，可使F0变小来提高分辨力，以减少栅栏效应。,*,42,
11、DFT与FT的关系,DFT与FT之间是一个近似，存在差异。DFT需要采样与截断。1、频域有限的周期信号，时域截断长度等于周期时当截断长度等于其周期时，DFT与FT之间的差别仅仅是一个比例因子TSDFT与FT等价条件：(1)时间函数x(t)是周期性的；(2)x(t)是频域有限信号；(3)采样频率至少是x(t)的上限频率的2倍；(4)截断函数u(t)必须正好在x(t)的一个周期内是非零的,*,43,频域有限的周期信号其时域截断长度等于周期,截断,时域,频域,频域卷积定理函数卷积特性,频域卷积定理函数卷积特性,时域卷积定理函数乘积特性函数卷积特性,*,44,频域有限的周期信号其时域截断长度等于周期,
12、时域,频域,P46 图2-39 脉冲序列与矩形脉冲的卷积,*,45,频域有限的周期信号其时域截断长度等于周期,时域,频域,幅值变化,*,46,频域有限周期信号其时域截断长度不等于周期,截断,时域,频域,频域卷积定理函数卷积特性,频域卷积定理函数卷积特性,时域卷积定理函数乘积特性函数卷积特性,DFT与FT出现差异T0T0,零频率处出现波形，1/T0,2/T0,处不为零,频率间隔T0,过零点是 1/T0,2/T0,产生具有间断点的周期函数，时域截断等效于一个Sa函数与单个脉冲的卷积是个频率的连续函数。泄漏效应,*,47,3、时域有限而频域无限信号,存在频混现象。TS要求足够小，可减少频混误差,*,48,4、一般周期信号5、任意信号,*,49,6-2、用DFT对模拟信号作频谱分析,信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换,xa(t),抽样t=nTs,x(n),截短,FT,Xa(j),周期延拓s=2/Ts,x(n)d(n),周期延拓,周期延拓取一个周期,xN(n),Xa(ej),卷积,Xa(ej)*D(ej),DTFT,DTFT,DFS,抽样0=/N,周期延拓取一个周期,XN(k),DFT,利用DFT对连续时间信号的逼近,*,50,作业：FFT算法,简述库利-图基FFT算法的基本原理并以采样序列x(n),n=0,1,15为实例具体说明计算流程图。,
