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1、传递函数的概念和定义,传递函数,在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。,零初始条件：,t0时，输入量及其各阶导数均为0；,输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，且t=0 时，输出量及其各阶导数也均为0；,2.4 传递函数,2.4.1 传递函数的定义,设线性定常系统的微分方程为,则零初始条件下，,单位脉冲响应：,传递函数具有以下特点：,(1)传递函数的分母是系统的特征多项式，代表系统的 固有特性；分子代表输入与系统的关系，而与输入 量无关，因此传递函数表达了系统本身的固有特性。,(2)传递函数不说明被描述系统的具体物理结构，不同 的物理系统可能具
2、有相同的传递函数。,(3)传递函数比微分方程简单，通过拉氏变换将时域内 复杂的微积分运算转化为简单的代数运算；,(4)当系统输入典型信号时，输出与输入有对应关系。特别地，当输入是单位脉冲信号时，传递函数就表 示系统的输出函数。因而，也可以把传递函数看成 单位脉冲响应的像函数；,(7)如果将传递函数进行代换s=j，可以直接得到系统 的频率特性函数(详见第3章)。,（5)分母s的阶次n大于等于分子中s的阶次m,（6）传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的。自变量s的量纲为1/秒,由于传递函数是经过拉氏变换导出的，而拉氏变换是一种 线性积分运算，因此传递函数的概念仅适用于线性定常系 统；传递函数是
3、在零初始条件下定义的，因此，传递函数原则 上不能反映系统在非零初始条件下的运动规律。一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，因此 只适用于单输入单输出系统的描述，而且系统内部的中间 变量的变化情况，传递函数也无法反映。,需要特别指出的是：,2.4.2 典型环节的传递函数,特点：输出量与输入量成正比，输出不失真也不延迟，而是按比例反映输入，即线性变化。,由运算放大器构成的比例环节,其中，ni(t)输入轴转速；n0(t)输出轴速；Z1，Z2齿轮齿数。,如图所示齿轮传动副，,(2)一阶惯性环节,凡运动方程为下面一阶微分方程,形式的环节称为一阶惯性环节。其传递函数为：,T时间常数，表征环节的惯性
4、，和 环节结构参数有关,式中，K环节增益（放大系数）；,特点：有一个阻尼元件存在，当有一个输入信号时，不会 马上达到一定值，而是需要一个缓慢上升的过程。,其中，ui(t)输入电压；uo(t)输出电压；R为电阻；C为电容。,图 无源滤波电路,例 如图所示无源滤波电路，,已知,拉氏变换后得,消去I(s)，得,则,求低通滤波器的传递函数,其中，xi(t)输入位移；x0(t)输出位移 K弹簧刚度；D粘性阻尼系统。,图 弹簧-阻尼系统,例 如图所示弹簧-阻尼系统。,（3）微分环节,特点：改善系统的动态性能；增加系统的阻尼，提高系统的稳定性 常被作为校正装置,输出量正比于输入量的微分。,例 如图所示永磁式
5、直流测速机，已知 进行拉氏变换后得 则对于相同量纲的理想微分环节物理上是难以实现的，电路中常遇到下述的近似微分环节。2 近似微分环节,图 永磁式直流测速机,图 无源微分网络,其中，输入转角；u0(t)输出电压。,其中，ui(t)输入电压 u0(t)输出电压 R电阻；C电容。,例7 图2-14所示的无源微分电路,已知,拉氏变换得,化简得,则,RC=TK=1,只有当|Ts|1时，才近似为微分环节。,（4）积分环节,如果输出变量正比于输入变量的积分，即 进行拉氏变换得 则,特点：系统的输出和输入之间没有唯一对应的关系，有记忆功能，能提高系统的稳态精度，系统中的积分环节不能大于2个，否则系统不稳定。,
6、5 二阶振荡环节如果输入，输出函数可表达为如下二阶微分方程：经拉氏变换得 则 例 如图所示质量-弹簧-阻尼系统，列方程 经拉氏变换得 则传递函数为,图 质量-弹簧-阻尼系统,返回,其中，输入外力；输出位移；M质量；k弹簧刚度；D拈行阻尼系数。,特点:在一定条件下，具有振荡可能，取决于系统本身的固有特性，这是因为有两个储能元件，有能量交换，这种能量交换在一定条件下 以振荡方式存在。,5 二阶振荡环节,含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为：,传递函数：,式中，T振荡环节的时间常数 阻尼比，对于振荡环节，01 K比例系数,特点:在一定条件下，具有
7、振荡可能，取决于系统本身的固有特性，这是因为有两个储能元件，有能量交换，这种能量交换在一定条件下 以振荡方式存在。,等效弹性刚度,等效复阻抗,（6）延时环节,特点：延时环节也是线性环节，有输入信号后，在时间内没有任何输出，到时间后，不失真地反映输入。延时常作为一个特性，与其他环节共同存在，而不单独存在。,惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅 由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要 求的输出值；,延迟环节从输入开始之初，在0 时间内,没有输出，但t=之后，输出等于之前时刻 的 输入。,延迟环节与惯性环节的区别：,系统的传递函数可以写成：,由上式可见，传递函数表达式包含六种不同的因子，即：,一般
8、，任何线性系统都可以看作是由上述六种因子表示的典型环节的串联组合。上述六种典型环节分别称为：,比例环节：K,一阶微分环节：s+1,二阶微分环节：,积分环节：,惯性环节：,振荡环节：,小结,构造数学模型时，环节是根据微分方程划分的，往往不是具体的物理装置或元件；,一个环节往往由几个元件之间的运动特性 共同组成；,同一元件在不同系统中作用不同，输入输 出的物理量不同，可起到不同环节的作用。,2.5 系统方框图和信号流图,2.5.1 系统方框图的组成,图2.18 方框图的组成(a)方框(b)比较点(c)分支点,(a),(b),(c),（1）环节串联,2.5.2 环节的基本连接方式,（2）环节并联,（
9、3）反馈连接,传递函数方框图的变换与简化,对于实际系统，通常用多环和交叉的方框图表示，需对复杂系统进行运算，变成一个等效的方框图，以利于系统研究，这就是传递函数的简化。,一、简化过程中的原则化简前后信号量保持不变,2.5.3 方框图的变换与简化,分支点前移,分支点后移,相加点前移,相加点后移,（2）方框图的简化,方框图的简化,2.5.4 系统的信号流图及梅逊公式,(1)信号流图的概念,在信号流图中，用符号“”表示变量，称为节点。节点用来表示变量或信号，输入节点也称为源节点，输出节点也称为汇节点，混合节点是指既有输入又有输出的节点。节点之间用单向线段连接，称为支路。支路是有权的，通常在支路上标明
10、前后两变量之间的关系，称为传输(在控制系统中就是传递函数)。沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径称为通路，起点与终点重合且与任何节点相交不多于一次的通路称为回路。,右图为反馈系统的信号流图。在图中，Xi(s)为源节点，Xo(s)为汇节点，E(s)和Xo(s)为混合节点，1，G(s)，1为前向通道。,以节点代表变量。源节点代表输入量，汇节点代表输出量。混合节点表示的变量是所有流入该点信号的代数和，而从节点流出的各支路信号均为该节点的信号。,信号流图具有下列性质,信号流图,对于同一个系统，信号流图的形式不是唯一的。,以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每
11、经过一条支路，相当在方框图中经过一个用方框表示的环节。,增加一个具有单位传输的支路，可以把混合节点化为汇节点。,(2)信号流图的简化,串联支路的总传输等于各支路传输之乘积，如(a)所示；,信号流图的简化规则,并联支路的总传输等于各支路传输之和，如(b)所示；,回环可以根据反馈联接的规则式化为等效支路，如(d)所示。,混合节点可以通过移动支路的方法消去，如(c)所示；,例2.9 将系统方框图化为信号流图并简化之。求系统闭环传递函数Xo(s)/Xi(s)。,(1)将方框图化为信号流图。,解：,系统的闭环传递函数为,(3)梅逊公式及其应用,梅逊公式为,式中：,T系统的传递函数；Pk第k条前向通道的传
12、递函数；n从输入节点到输出节点向前通道总数；信号流图的特征式,其中，L1为所有不同回路传递函数之和，L2为任何两个互不接触回路传递函数的乘积之和。L3为任何三个互不接触回路传递函数的乘积之和。；Lm为任何m个互不接触回环传输的乘积之和；,k为特征式的余子式，即从中除去与第k条前向通道相接触的回路后，余下部分的特征式,例2.10 用梅逊公式求图2.30所示信号流图的总传递函数。,图2.30 例2.10中系统的信号流图,由图可见，在节点Xi(s)和Xo(s)之间，只有一条前向通道，其传输为,此系统有三个回路，其传递函数之和为,解：,这三个回路相互之间都有公共节点，故不存在互不接触的回路。于是特征式
13、为,由于三个回路均与前向通道P1接触；故其余子式为,根据梅逊公式可以求得总传输,由图可见，有三个不同的回环，即,解：,例2.11 求图2.31所示信号流图的传递函数。,图2.31信号流图,有两个互不接触的回环，即,从而,只有一个前向通道,，,则，根据梅逊公式,2.6 工程实例中的数学模型与传递函数,工作台位置自动控制系统,1)指令放大器为比例环节，输入为期望的位置xi(t)，输出为ua(t)，它们之间的关系为,传递函数为,2)前置放大器为比例环节，其输入为电压u(t)，输出为电压uob(t)，它们之间的关系为,传递函数为,3)功率放大器为比例环节，其输入为电压uob(t)，输出为电压ud(t)
14、，它们之间的关系为,传递函数为,4)直流伺服电动机、减速机、丝杠和工作台。将直流伺服电动机的输入电压ud作为输入，减速机、丝杠和工作台相当于电动机的负载。可以应用2.1节中例2.3的结果得其数学模型，参考式(2.17)，得,若减速器的减速比为i1，丝杠到工作台的减速比为i2，则从电动机转子到工作台的减速比为,其中，i2=2/L，L为丝杠螺距。,电动机转子的转动惯量为J1;减速器的高速轴与电动机转子相连，而且，通常产品样本所给出的减速器的转动惯量为在高速轴上的，减速器的转动惯量为J2;滚珠丝杠的转动惯量为Js(定义在丝杠轴上)，滚珠丝杠的转动惯量等效到电动机转子上为J3=Js/i12;工作台的运
15、动为平移，若工作台的质量为mt，其等效到转子的转动惯量为J4=mt/i2。,等效到电动机轴的转动惯量。,从而，电动机、减速器、滚珠丝杠和工作台等效到电动机转子上总转动惯量为,在电动机、减速器、滚珠丝杠和工作台上分别有粘性（库伦摩擦）阻力，可以通过阻尼系数来考虑。根据等效前后阻尼耗散能量相等的原则，等效到电动机轴的阻尼系数为,等效到电动机轴的阻尼系数。,其中：,Dt工作台与导轨间的粘性阻尼系数；Ds丝杠转动粘性阻尼系数；Di减速器的粘性阻尼系数；Dd电动机的粘性阻尼系数,将式(2.81)代入式(2.80)即可得电动机至工作台的数学模型,输入为电动机电枢电压，输出为工作台位置时的数学模型。,对式(
16、2.82)两边取拉氏变换得,输入为电动机电枢电压，输出为工作台位置时的传递函数。,其中,5)检测电位器将所得到的位置信号变换为电压信号，相当于比例环节，其输入为工作台的位移x(t)，输出为电压ub，数学模型为,反馈通道的传递函数为,根据系统方框图2.34，系统的开环传递函数为,系统闭环传递函数为,常取Kp=Kf，此时上式可简化为,其中,可见，为二阶系统。有关该系统的性能分析以及控制器的设计将在后续章节中讨论。,2.6.2 液压伺服位置控制,钢带卷取跑偏控制系统的结构原理如图2.37所示。,图2.37 跑偏控制系统原理图,图2.38 卷取机电液伺服跑偏控制系统方框图,机组最大卷取速度:v=5 m
17、/s;与活塞相连的运动部件质量:35000 kg;卷取误差:e210-3 m;钢带卷移动最大距离:s=0.15 m；最大摩擦力:Ff=17500 N；系统剪切频率:c 20 rad/s；卷筒轴向最大速度:vm=2.210-2 m/s；卷筒轴向最大加速度:am=0.47 m/s2。,(1)系统的有关原始参数,(2)光电检测器与放大器的传递函数,(3)电液伺服阀的传递函数,其中：Ksv电液伺服阀的增益，Ksv=1.9610-3 m3/(sA);sv电液伺服阀的固有频率，sv=157 rad/s;sv电液伺服阀的阻尼比，sv=0.7。,(4)液压缸的传递函数,其中：Kp电液伺服阀的增益，Kp=59.510-3 L/m2;p电液伺服阀的固有频率，p=88 rad/s;p电液伺服阀的阻尼比，p=0.3。,(5)系统的方框图如图2.39。,图2.39 带钢卷取跑偏控制系统方框图,系统的开环传递函数为,系统闭环传递函数为,(2.91),
