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1、第一章 随机事件及其概率,第三讲 条件概率、乘法公式、全概率公式,概率论与数理统计课程教学团队,第三讲 条件概率、乘法公式、全概率公式,一、条件概率二、乘法公式三、全概率公式四、小结,一、条件概率,问题的提出：1)10个人摸彩，有3张中彩.问：第1个人中彩的概率为多少？第2个人中彩的概率为多少？2)10个人摸彩，有3张中彩.问：已知第1个人没摸中，第2个人中彩的概率为多少？,引例 10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率.,则 P(B)=32/39=2/9.,解:设 A=第一个取到次品，则A为样本空间。B=两个都取到次品，利用等概率公
2、式：,定义1 对于事件A、B，若 P(B)0，则称 P(A|B)=P(AB)/P(B)为在 B 出现的条件下，A 出现的条件概率.注：若 B 已发生，为使 A 也发生，则此样本点必属于A B，B成为了新的样本空间.,容易验证，条件概率满足以下性质：1、对于事件A，有 0P(A|B)1；2、对于必然事件S，有P(S|B)=1；3、若事件A1，A2，An，两两互不相容，则有 P(A1A2 An|B)=P(A1|B)+P(A2|B)+P(An|B).,1)用定义：P(A|B)=P(AB)/P(B)；2)减缩样本空间：将 S减缩为S=B，在B中 计算A的概率.,计算条件概率P(A|B)的方法,例 1
3、掷两颗骰子，记 B=“两颗骰子点数相等”，A=“两颗骰子点数之和为4”，求 P(A|B).,解:样本空间 S=(1,1),(1,2),(1,6),(2,1),(2,6)，(6,6),B=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),A=(1,3)，(2,2)，(3,1),A B=(2,2).于是 P(A|B)=P(AB)/P(B)=(1/36)/(6/36)=1/6.,另解：减缩样本空间 S=B=(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，而 B 中只有一个样本点(2,2)属于A，所以 P(A|B)=1/6.,则 P(B|A)=P(AB)/
4、P(A)=(7/30)/(3/10)=7/9.,例2 10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放 回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第 二个取到正品的概率.,解:设 A=第一个取到次品，B=第二个取到正品，,乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式.,条件概率的三大公式,二、乘法公式（概率的乘法定理）(1)若 P(B)0，则 P(AB)=P(A|B)P(B)；若 P(A)0，则 P(AB)=P(B|A)P(A).(2)若 P(A1A2)0，则 P(A1A2 A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=P(A3|A1A2)P(A2|A1)P(A1).,乘法公式的应用：乘法公式主要用于求几个事件同时发生
5、的概率.例3 一批零件100个，其中10个不合格品，从中一个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率.,解：记 Ai=“第i次取出的是不合格品”，Bi=“第i次取出的是合格品”，依题意：P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2)=(90/100)(89/99)(10/98)=0.0825.,三、全概率公式,定义2 设S是样本空间，B1，B2，Bn为一组事件.若BiBj=，（ij，i，j=1,2，n）且B1B2 Bn=S.则称事件组B1，B2，Bn为S的一个划分（或称完备事件组）.特别地，事件A与其对立事件构成一个完备事件组.,引例.一箱中混装有3个厂生产的同类产品,
6、知:,任取1件,求取到次品的概率.,A,S,A1,A2,A3,1厂占有1/2,次品率为2%,2厂占有1/4,次品率为2%,3厂占有1/4,次品率为4%,定理 设S是样本空间，事件组B1，B2，Bn为S 的一个划分，且P(Bi)0，A为一事件，则有 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|Bn)P(Bn)，并且称此式为全概率公式.证明：由 A=A S=A(B1B2 Bn)=AB1AB2 ABn，由假设进而得到 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(ABn)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|Bn)P(Bn).,注：全概率公式用于求复杂事
7、件的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率；使用全概率公式关键在于寻找另一组事件来“分割”样本空间；全概率公式最简单的形式：,例4 设10 件产品中有 3 件不合格品，从中不放 回地取两次，每次一件，求取出的第二件为 不合格品的概率.解：设 B=“第一次取得不合格品”，A=“第二 次取得不合格品”.由全概率公式得：,=(3/10)(2/9)+(7/10)(3/9)=3/10.,例5 三个电池生产车间A1，A2，A3同时普通电池和高性能电池，一小时总产量为600只，各车间产量如下表：车间 普通电池 高性能电池 共计产量 A1 200 100 300 A2 50 150 200 A3 50 50
8、100,随机抽取一只电池，求它是高性能电池的概率.,解：以H表示高性能电池，易知车间A1，A2，A3是S 的一个划分，且有 P(A1)=300/600=1/2，P(A2)=200/600=1/3，P(A3)=100/600=1/6，又 P(H|A1)=100/300=1/3，P(H|A2)=150/200=3/4，P(H|A3)=50/100=1/2.由全概率公式得 P(H)=P(H|A1)P(A1)+P(H|A2)P(A2)+P(H|A3)P(A3)=1/2.,例.一箱中混装有3个厂生产的同类产品,知:,任取1件,求取到次品的概率.,A,S,A1,A2,A3,解:,:”取到产品属于k厂”,设
9、A:”取到次品”,1厂占有1/2,次品率为2%,2厂占有1/4,次品率为2%,3厂占有1/4,次品率为4%,设,称A1 A2 A3 是S的1个3划分,A,S,A1,A2,A3,例:一个盒子中有6只白球，4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取3次，求第三次才取得白球的概率.,易知,例:袋中装有两个红球和三个白球,从中依次取出两个（不放回）,求两个都是红球的概率.,解:设A1=第一次取得红球,A2=第二次取得红球.P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=(2/5)(1/4)=0.1或者用古典概型求解：,练习:设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2;若第一次落下未打破,第二次
10、落下时打破的概率为7/10;若前二次落下未打破,第三次落下时打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.,解法1:设Ai=透镜第i次落下未打破(i=1,2,3),B=透镜落下三次而未打破,则B=A1A2A3,故有P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/200,例:设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2;若第一次落下未打破,第二次落下时打破的概率为7/10;若前二次落下未打破,第三次落下时打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.,四、小结 1、条件概率的定义及计算；2、概率的乘法公式及其应用；3、复杂事件全概率公式的应用.,教材P23：8,12,13,作 业,
