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1、Chapter 1(3),条件概率及重要公式,教学要求：,1.了解条件概率的定义;,2.掌握概率的乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式;,3.应用以上公式进行概率计算.,例如，投掷一均匀骰子，并且已知出现的是偶数点，那么对试验结果的判断与没有这一已知条件的情形有所不同。一般地，在已知另一事件B发生的前提下，事件发生的可能性大小不一定再是 P(A)。,条件概率这一概念是概率论中的基本工具之一，实际中我们常希望知道事件A的发生概率，尽管我们不可能完全知道试验结果，但往往会掌握一些与事件 A相关信息，这这对我们的判断有一定的影响.,一、条件概率及性质,1.实例,某种产品，若尺寸与光洁度都合格，就认为是合
2、格的.现有该产品100件，其中合格品90件，95件尺寸合格，92件光洁度合格，若从其中任取一件，测得其光洁度合格，求此件产品为合格品的概率.,Solution.,设A=尺寸合格，,B=光洁度合格,则AB=合格品,2.条件概率的定义,在事件B已发生的条件下,事件A发生的概率,称为在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率.记为P(A|B).,注意:,3.条件概率的性质：,ex1.根据历史气象资料统计，某地四月份吹东风的概 率为,既吹东风又下雨的概率为,试问吹东风与下雨之间有否密切关系？,Solution.,在“吹东风”（A）发生的条件下“下雨”（B）发生的概率大小能够说明这两者之间的关系是否密切
3、.,这个概率相当大，所以说在某地“吹东风”与“下雨”是有密切关系的.,二、乘法公式(定理1),Proof.,故可由条件概率的定义得,乘法公式给出了n个事件,同时发生的概率计算的一般方法.,ex2.100件产品中有10件次品，随机取三次，每次取一件（不放回），求第三次才取到合格品的概率.,Solution.,设Ai第i次取出的产品是次品 i=1,2,A3第三次取出的产品是合格品,现在要求的是,同时发生的概率,.0084.,三、全概率公式,定义(完备事件组):,定理2:,Proof.,注意:,(1)此公式为全概率公式.,(2)定理中隐含着当Bi中其中之一发生时，事件A才 能发生.,(3)直观解释：
4、对一个试验，某一结果发生的可能性 有多种原因，每一原因对这结果的发生作出一定 的“贡献”.此时用全概率公式.,ex3.设第一个盒子中有2个白球和1个黑球，第二个盒子中有3个白球和1个黑球，第三个盒子中有2个白球和2个黑球，此三个盒子外形相同,某人任取一盒,从中任取一球,试求取得白球的概率.,Solution.,设A表示“取得白球”,Bi表示“从第i个盒子中取球”i=1,2,3,由全概率公式得,四、贝叶斯公式,定理3:,Proof.,注意:,(1)此公式为贝叶斯公式.,(2)结果A是由原因B1，B2，Bn 引起的，已知A已发生，求原因Bi导致A发生的概率.,(3)用于确定犯人，查找引起地震的原因
5、等.,ex4某库内有同型产品1000件,其中500件是甲厂生产的,300件是乙厂生产的,200件是丙厂生产的,已知甲厂产品的次品率为,乙厂产品的次品率为,丙厂产品的次品率为,今从库内任取一件产品.(1)求“取得次品”的概率；(2)若已知取得的是次品,求取得的产品属于甲厂的产品 的概率.,Solution.,设A表示“取得次品”,i表示“甲or乙or丙厂的产品”i=1,2,3,则P(B1)=500/1000，,P(B2)=300/1000，,P(B3)=200/1000，,P(A|B1)=1/100，,P(A|B2)=2/100，,P(A|B3)=4/100,(1)由全概率公式得,P(A)=P(
6、B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.019.,(2)由贝叶斯公式得,=0.263.,五、例题分析,再次强调乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式在具体应用中的思路.,(1)如果所求概率是任意n个事件A1，A2，,An的积 事件的概率,且P(A1An-1)0,则可应用乘法公式.,(2)如果某一结果(用事件A表示)是由多种“原因”所引 起的(这些“原因”用事件Bi,i=1,2,n表示),且作 为“原因”的这些事件彼此之间互不相容,其和事件 恰为必然事件,则结果A发生的概率用全概率公式.,(3)如果某一事件A的发生是由多种“原因”Bi所引起的,且已知该事件A已经发
7、生，当需要了解A的发生是 由某Bi所引起的概率有多大时，可用贝叶斯公式.,ex5.玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0.8，0.1和0.1.顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客开箱随机地察看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回,试求：(1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中,确实没有残次品的概率.,Solution.,设A表示“顾客买下所察看的一箱”，,Bi表示“箱中恰有i件残次品”i=0，1，2，,(1)由全概率公式有,(2)由贝叶斯公式有,ex6.某类产品每百件成批,出厂验收时,规定从每批中任意挑选5件为样品,若样品中发现有废品,则整批不予出厂,今有一批产品100件,其中有6件废品,问该批产品被拒绝出厂的概率有多大？,Solution 1.,设A表示“该批产品被拒绝出厂”,Bi表示“5件产品中恰有i件废品”i=1,2,3,4,5；,由全概率公式得,Solution 2.,设A表示“该批产品被拒绝出厂”，则,表示“5件受验产品中无废品”，,若设Bi表示“第i个受验产品是合格品”，则,
