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1、“杨辉三角”与二项式系数的性质,复习,二项式定理,(a+b)n=,Cn0an+Cn1an-1b1+Cnkan-kbk+Cnnbn,展形式的第k+1项为,Tk+1=,Cnkan-kbk,计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表,对称性,议一议,1）请看系数有没有明显的规律？,2）上下两行有什么关系吗？,3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?,每行两端都是1 Cn0=Cnn=1从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 Cn+1m=Cnm+Cnm-1,杨辉三角,九章算术,杨辉,详解九章算法中记载的表,杨辉三角,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看，可
2、看成是以r为自变量的函数,其定义域是：,当 时，其图象是右图中的7个孤立点,对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式 得到,图象的对称轴：,二项式系数的性质,增减性与最大值,由于：,所以 相对于 的增减情况由 决定,二项式系数的性质,由：,二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,可知，当 时，,二项式系数的性质,增减性与最大值,增减性与最大值,二项式系数的性质,各二项式系数的和,在二项式定理中，令，则：,这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：,同时由于，上式还可以写成：,这是组合总数公式,二项式系数的性质,例 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。,在二项式定理中，令，则：,特值法,1.(1-x)13 的展开式中系数最小的项是()(A)第6项(B)第7项（C）第8项(D)第9项,C,练习,变式:若将“只有第10项”改为“第10项”呢？,解,-2,-1094,1093,练习,(1)二项式系数的三个性质,(2)数学思想：函数思想,a 单调性；,b 图象；,c 最值。,小结,两个计数原理,排列，排列数公式,组合，组合数公式,二项式定理,应用,
