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1、第七章,参数估计,第二节 极大似然估计,极大似然原理,一次试验就出现的事件有较大的概率,例如:有两外形相同的箱子,各装100个球 一箱 99个白球 1 个红球 一箱 1 个白球 99个红球,现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球.,答:第一箱.,问:所取的球来自哪一箱？,例6 设总体 X 服从0-1分布,且P(X=1)=p,用极大似然法求 p 的估计值.,解,总体 X 的概率分布为,设 x1,x2,xn为总体样本X1,X2,Xn的样本值,则,对于不同的 p,L(p)不同,见下图,现经过一次试验，,在容许范围内选择 p，使L(p)最大,注意到，ln L(p)是 L 的单调增函
2、数,故若某个p 使ln L(p)最大,则这个p 必使L(p)最大。,一般,设 X 为离散型随机变量,其分布律为,则样本 X1,X2,Xn的概率分布为,或,称 L()为样本的似然函数,称这样得到的,为参数 的极大似然估计值,称统计量,为参数 的极大似然估计量,极大似然法的思想,简记,简记,若 X 连续,取 f(xi,)为Xi 的密度函数,似然函数为,注1,注2,未知参数可以不止一个,如1,k,设X 的密度(或分布)为,则定义似然函数为,为似然方程组,若对于某组给定的样本值 x1,x2,xn，参数 使似然函数取得最大值,即,显然，,称统计量,为1,2,k 的极大似然估计量,是,的函数，即,例7 设
3、总体 X N(,2),x1,x2,xn 是 X 的样本值,求,2 的极大似然估计.,解,2 的极大似然估计量分别为,极大似然估计方法,1）写出似然函数 L,可得未知参数的极大似然估计值,然后,再求得极大似然估计量.,L是 的可微函数,解似然方程组,若,L不是 的可微函数,需用其它方法求极大似然估计值.请看下例：,若,例8 设 X U(a,b),x1,x2,xn 是 X 的一个样本值,求 a,b 的极大似然估计值与极大似然估计量.,解,X 的密度函数为,似然函数为,似然函数只有当 a xi b,i=1,2,n 时才能获得最大值,且 a 越大,b 越小,L 越大.,令,xmin=min x1,x2
4、,xnxmax=max x1,x2,xn,取,都有,故,是 a,b 的极大似然估计值.,分别是 a,b 的极大似然估计量.,问 题,1)待估参数的极大似然估计是否一定存在?,2)若存在,是否惟一?,设 X U(a,a+),x1,x2,xn 是 X的一个样本,求 a 的极大似然估计值.,解,由上例可知,当,时,L 取最大值 1,即,显然,a 的极大似然估计值可能不存在,也可能不惟一.,例9,不仅如此,任何一个统计量,若满足,都可以作为 a 的估计量.,极大似然估计的不变性,设 是 的极大似然估计值,u(),()是 的函数,且有单值反函数,=(u),uU 则 是 u()的极大似然估计值.,如 在正态总体N(,2)中,2的极大 似然估计值为,lg 的极大似然估计值为,
