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1、第二章 圆锥曲线与方程2.1.1 椭圆及其标准方程,一、引入,结论：平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆。,常数必须大于两定点的距离,如何定义椭圆?,圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的点的集合,椭圆的定义:平面上到两个定点F1,F2的距离之和为固定值(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.,1、椭圆的定义：,平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做椭圆。,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距|F1F2|=2c。,几点说明：,1、椭圆定义式：|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|=2c.则M点的轨迹是椭圆.,
2、2、若|MF1|+|MF2|=2a=|F1F2|=2c，则M点的轨迹是线段F1F2.,3、若|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|=2c，则M点的轨迹不存在.,二、讲授新课,应用举例,例1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。,(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。,(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。,(3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。,解(1)因|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。,(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F
3、2)。,(3)因|MF1|+|MF2|=3|F1F2|=4，故点M的轨迹不成图形。,探讨建立平面直角坐标系的方案,方案一,原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线 作为坐标轴.),(对称、“简洁”),O,x,y,F1,F2,M,如图所示：F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a2c)的动点M的轨迹方程。,解：以F1F2所在直线为X轴，线段F1F2 的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。,(-c,0),(c,0),(x,y),设M（x,y)为
4、所求轨迹上的任意一点，,则:|MF1|+|MF2|=2a 且2a2c,2、椭圆标准方程及其推导,O,X,Y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),(x,y),两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),因为2a2c，即ac，所以a2-c20，令a2-c2=b2，其中b0，代入上式可得：,b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2得：,(ab0),这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。,a,c,b,O,X,Y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),O,X,Y,F1,F
5、2,M,(0,-c),(0,c),椭圆的标准方程的几点说明：,（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1,（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。,（3）椭圆的标准方程中：x2与y2的分母哪一个大，则焦点在 哪一条轴上，大分母为a2，小分母为b2.,椭圆的标准方程,分母哪个大，焦点就在哪个轴上,a2-c2=b2,3、椭圆的标准方程小结,|MF1|+|MF2|=2a(2a2c0),则a，b,则a，b,5,3,4,6,口答：,则a，b,则a，b,3,例1.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上每一点到两焦点距离的和。,例2、椭圆 上一点P到一个焦点的距离等于3，则它
6、到另一个焦点的距离是（）A.5 B.7 C.8 D.2,B,例3(1)椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0）（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。,(3)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程.,(2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程.,1、建系 2、设标 3、列式 4、化简 5、检验（可省略不写）,例6、如图，设点A，B的坐标分别为(-5,0),(5,0)。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程。,解：设点M的坐标为(x,y)，因为点A的坐标是，所以直线 AM的斜率,同理，直线BM的斜率,由已知有,化简，得点M的轨迹方程为,椭圆的一般形式,
