《概率与数理统计第15讲.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率与数理统计第15讲.ppt（36页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、1,性质1:若X=C，C为常数，则 Var(X)=0.,性质2:若b为常数,随机变量X的方差存在，则bX的方差存在，且 Var(bX)=b2Var(X),Var(aX+b)=a2 Var(X),结合性质1与性质2就有,2,若随机变量X1,X2,Xn 的方差都存在，则X1+X2+.+Xn的方差存在，且,若随机变量X1,X2,Xn相互独立，则,性质4:,n2时就有,性质3:,Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2E(X-EX)(Y-EY),若X,Y 独立，Var(XY)=Var(X)+Var(Y),3,注：以后若无特殊说明，都认为随机变量的方差大于0。,性质5:,对任意常数C,Var(X)E
2、(X C)2,等号成立当且仅当C=E(X).,4,例1.设X B(n,p)，求Var(X).,解：引入随机变量,故,则,由于,5,例2.标准化随机变量,设随机变量 X 的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称,为 X 的标准化随机变量.显然，,6,则:,例3.设X1,X2,Xn相互独立，有共同的期望 和方差，,证明:,7,例4.已知随机变量X1,X2,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y=X1+X2+Xn.求 E(Y2).,解：由已知，则有,因此，,8,例5.设随机变量X和Y相互独立，且 XN(1,2),YN(0,1),试求 Z=2X-Y+3 的期望和方差。,由
3、已知，有E(X)=1,D(X)=2,E(Y)=0,D(Y)=1,且X和Y独立。因此，,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9.,E(Z)=2E(X)E(Y)+3=2+3=5,解:,注：由此可知 ZN（5,9）。,9,思考：为什么？,一般地，,10,C.两个不等式,定理3.2(马尔可夫(Markov)不等式)：对随机变量X 和任意的 0，有,证明:设为连续型,密度函数为f(x),则,11,上式常称为切比雪夫（Chebyshev）不等式,在马尔可夫不等式中取=2,X为X-EX 得,是概率论中的一个基本不等式.,12,例6.已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a，使股价超过
4、1+a元或低于1-a元的概率小于10%。,解：由切比雪夫不等式,令,13,例7.在每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75,利用切比雪夫不等式求：n 需要多么大时，才能使得在 n 次独立重复试验中,事件 A 出现的频率在0.74 0.76之间的概率至少为0.90?,解:设X 为n 次试验中事件A 出现的次数，,的最小的n.,则 XB(n,0.75).,而所求为满足,于是，E(X)=0.75n,Var(Y)=0.75*0.25n=0.1875n。,14,=P(-0.01nX-0.75n 0.01n),=P|X-E(X)|0.01n,P(0.74n X0.76n),可改写为,=P|X-E(X)
5、|0.01n,15,解得,依题意，取,即n 取18750时，可以使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在 0.74 0.76之间的概率至少为0.90.,16,定理3.3(内积不等式或Cauchy-Schwarz不等式)设EX2，EY2 则有,证明:注意到对任意的 t,有,所以g(t)作为 t 的二次多项式,其判别式0,即,17,4.4 协方差和相关系数,问题 对于二维随机变量(X,Y):,已知联合分布,边缘分布,这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系.问题是用一个什么样的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量X,Y 之间的某种关系,18,可以证
6、明协方差矩阵为半正定矩阵,19,若Var(X)0,Var(Y)0,称,为X,Y 的 相关系数，记为,事实上，,20,利用函数的期望或方差计算协方差,若(X,Y)为离散型，,若(X,Y)为连续型，,21,求 cov(X,Y),XY,解:,22,23,例9.设(X,Y)N(1,12,2,22,),求 XY,解:,24,定理：若(X,Y)N(1,12,2,22,),则X,Y 相互独立,X,Y 不相关,因此，,25,例10.设U(0,2),X=cos,Y=cos(+),是给定的常数，求 XY,解:,26,27,协方差的性质,当且仅当,时，等式成立,Cauchy-Schwarz不等式,28,相关系数的性
7、质,Cauchy-Schwarz不等式的等号成立,即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性关系为,29,X,Y 不相关,注：X与Y不相关仅仅是不线性相关，可以非线性相关。,30,X,Y 相互独立,X,Y 不相关,若 X,Y 服从二维正态分布，,X,Y 相互独立,X,Y 不相关,31,若X,Y 是两个随机变量，用X 的线性函数去逼近 Y 所产生的均方误差为,当取,使得均方误差最小.,例：最小二乘法的思想,若 则线性逼近无意义。为什么？,32,例11.设(X,Y)N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,求 XZ,解:,33,例12：设XN(0,4),YP(2),XY=1/2,求 E(X+Y)
8、2.,解:,E(X+Y)2=E(X+Y)2+Var(X+Y),注意到,=EX+EY)2+Var(X)+Var(Y)+2cov(X,Y),把条件代入即得 E(X+Y)2=,由题设知:EX=0,Var(X)=4,EY=2,Var(Y)=2,XY=1/2,而,34,设二维随机变量(X,Y),k,l 为非负整数。mk=E(Xk)称为X的k阶原点矩，k=E(X-E(X)k 称为X的k阶中心矩，mkl=E(X k Y l)称为X和Y的(k,l)阶混合原点矩，kl=E(X-E(X)k(Y-E(Y)l 称为X和Y的(k,l)阶 混合中心矩.显然数学期望为1阶原点矩,方差为2阶中心矩,而协方差为(1,1)阶混合中心矩.,35,例13.设X服从N(0,1)分布，求 E(X3),E(X4)。,解：X的密度函数为：,注：此例是128页4.17的特例。,36,作业:,128页:4.12;4.16(2);4.26;4.28。,
