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1、2.若A与B互不相容,则P(A+B)=P(A)+P(B)(可加性),1.3 概率的加法法则及其性质,例1 100个产品中有60个一等品,30个二等品,10个废品,规定一,二等品为合格,求这批产品的合格率.,例2 有A,B两门选修课,某班38人中有21人选A,15人选B,有11人同时选了A与B,在该班同学中任取一人,问他参加选修课的概率为多少?,例4某班有35名同学,求其中至少有一人生日在元旦的概率(设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的).,例3 设事件A与B互不相容,且P(A)=0.6,P(A+B)=0.8,求,例5 有r 个人,设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的,试求事件“
2、至少有两人同生日”的概率.,为求P(A),先求P(),用上面的公式可以计算此事出现的概率为,美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验,在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上,他随机地在某号看台上召唤了22个球迷,请他们分别写下自己的生日,结果竟发现其中有两人同生日.,即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.,这个概率不算小,因此它的出现不值得奇怪.计算后发现,这个概率随着球迷人数的增加而迅速地增加,如下页表所示:,=1-0.524=0.476,表 人数 至少有两人同 生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30
3、0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994,所有这些概率都是在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的.实际上,这个假定并不完全成立,有关的实际概率比表中给出的还要大.当人数超过23时,打赌说至少有两人同生日是有利的.,作业:P26 8,12,14,1.4 条件概率与乘法法则,引例 100个产品中有65件一等品,33件二等品,2件废品.,1.任取一件,求取得一等品的概率.,2.从合格品中取一件,求取得一等品的概率.,解:,设A“产品合格”,B“取得一等品”,(一)条件概率,定义1 对于两个事件A与B.如果P(A)0,称,为在事件A发生的条件下,事件
4、B发生的概率.简称条件概率.条件概率的计算:,条件概率也是概率,易验证条件概率满足概率的三条性质.,例1,有男生,人,有女生,人;,来自北京的,有 人;,(以事件C表示),其中男生12人,女生8人;,免修英语的,人中,有32名男生,8名女生;,试写出,解,(以事件A表示),(以事件B表示),全年级100名学生中,例2 一批产品100件,有80件正品,20件次品,其中甲生产的为60件,有50件正品,10件次品,余下的40件均由乙生产.先从该产品中任意取一件,记A=“取得正品”,B=“取得甲生产的产品”,写出概率,注意:一般情况下,例3 10个产品中有7个正品,3个次品,按不放回抽样抽取两个,如果
5、已知第一次取到次品,计算第二次又取到次品的概率.,(二)乘法法则 对于两个事件A与B,如果P(A)0,则有P(AB)=P(A)P(BA);如果P(B)0,则有P(AB)=P(B)P(AB).,例4 对于三个事件A,B,C,假设P(AB)0,求证:P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)证明:,则有,如果,对于k个事件,一般地,例5 10个产品中有7个正品,3个次品,按不放回抽样抽取两个,计算两次都取到次品的概率.,例6 10个考签中有4个难签,3人参加抽签(不放回),甲先、乙次、丙最后。求甲抽到难签,甲、乙都抽到难签,甲没有抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。,例6 1
6、0个考签中有4个难签,3人参加抽签(不放回),甲先、乙次、丙最后。求甲抽到难签,甲、乙都抽到难签,甲没有抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。,(三)全概率公式与贝叶斯公式,引例2 例1中的10个球,若改为3白,2黑,5红,取法不变,求第二次取到白球的概率P(B).,引例1 袋中装有10个球,其中有4个白球,6个黑球,采取不放回抽样,每次任取一球,求第二次取到白球的概率.,B,证,定理1.1(全概率公式),如果事件,构成,一完备事件组,而且,则对任何,一个事件B,有,时,时,由于,例3 市场上某种商品由三个厂家同时供货,其供应量,第一个厂家为第二个厂家的二倍,二,三两个厂家相等,
7、各厂家产品的次品率依次为2,2,4,求市场上供应的该种商品的次品率.,例4 10个乒乓球中有7个新球,第一次随机地取出两个,用完后放回去,第二次又随机地取出两个,在上例中,若发现第二次取到的是两个新球,计算第一次没有取到新球的概率.,问第二次取到几个新球的概率最大.,例5 设某种商品成箱出售,每箱24件,其中恰好有0,1,2件不合格品的概率分别为0.98,0.015,0.005.一顾客挑选一箱,从中任意查验两件,结果未发现不合格品,于是买下此箱.,求此箱确实无不合格品的概率.,B表示“如期到达”,分别为,乘坐这几种交通工具,能如期到达的,求此人能如期到达的概率;,分别表示,乘飞机、火车、轮船、,汽车.,为完备事件组.,解,设,某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具,思考题:,概率依次为,其概率,现已知此人如期到达,问其是乘坐飞机到的概率.,则,作业:,