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1、第四节 抽样分布,统计量的分布称为抽样分布。在使用统计量进行统计推断时常需知道它的分布.当总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的，然而要求出统计量的精确分布，一般来说是困难的.本节介绍来自正态总体的几个常用统计量的分布.今后，我们将看到这些分布在数理统计中有重要的应用.,一、三个重要分布,为了讨论正态总体下的抽样分布，先引入由正态分布导出的统计量中的三个重要分布，即 分布，分布，分布。1.分布设 是来自总体 的样本，则称统计量（1）服从自由度为 的 分布，记为,此处，自由度是指（1）式右端包含独立变量个数,分布的概率密度为,的图形如图63所示。,（2）,图6-3,此结论可推广：设 且相互独立,
2、分布的可加性,（证明略）,则,若，则有,分布的数学期望和方差,因,故,因此,又,于是,则称点 为 的上 分位点,分布的分位点,定义 设有分布函数,若对给定的,有,(6),当 有密度函数 时，式（6）可写成,(7),由上述定义得 分布的上 分位点为,(8),例如 对于，查得但该表只详列到 费歇（R.A.Fisher）曾证明，当 充分大时，近似地有（9）其中 是标准正态分布的上 分位点。利用（8）式可以求得当 时，分布的上 分位点的近似值,例如由（9）式可得（由更详细的表得）,2.分布,设，且 独立,服从自由度为 的 分布,记为,分布又称为学生氏（student）分布,分布的概率密度函数为,(11
3、),当 n 充分大时,其图形近似于标准正态变量概率密度的图形.,由分布的对称性知,3.分布,记为,（16）,的概率密度为,（17）,图6-7中画出了 的图形,由定义可知，若 则（18）,图6-7,分布的分位点,对于给定的,称满足条件,（19）,的点 为 分布的上 分位点(图6-8),图6-8,容易证明等式：,（20）,利用这个等式，查附录表，可以计算当,时的 的值,例如,F分布的上 分位点有表格可查（见附表 5）,二、正态总体统计量分布,研究数理统计的问题时，往往需要知道所讨论的统计量 的分布一般说来，要确定某个统计量的分布是困难的，有的甚至是不可能的然而，对于总体服从正态分布的情形已经有了详
4、尽的研究.下面我们讨论服从正态分布的总体的统计量的分布.,假设 是来自正态总体 的样本，即它们是独立同分布的,皆服从 分布,样本均值与样本方差分别是,定理1 设总体 服从正态分布，,（21）,即,则,因为随机变量 相互独立且与总体 服从相同的正态分布,证,所以,由正态分布的性质可知，它们的线性组合服从,正态分布,即,这个定理的证明从略，我们仅对自由度作一些说明,虽然是 个随机变量的平方和，但是这些随机变量不是相互独立的。因为它们的和恒等于零：,由样本方差 的定义易知,所以统计量,由于受到一个条件的约束，所以自由度为,上述两定理是正态总体统计推断的基础，因而是十分重要的，下面列举其应用（有些结论我们放在习题6-4中）,证明,且两者独立,由 t 分布的定义知,定理3,化简即可.,定理4,证明,(1)由定理2,(2),本节所介绍的几个分布以及几个重要结论，在下面各章中都起着重要的作用。应注意，它们都是在总体为正态这一基本假定下得到的。,例3,解,根据正态分布的性质,
