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1、,主讲人 马玉林,山东财政学院,概率论与数理统计,概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科，其理论方法与数学其它分支相互交叉、渗透，已经成为许多自然科学、社会与经济科学、管理学科等重要的理论工具.在经济学和管理学中，经常会碰到如抽样调查、预测、决策一类问题，在这些问题中我们研究的对象往往具有随机性.因此概率论与数理统计在经济和管理中有着广泛的应用.,课程简介,本课程是经济类、管理类各专业的一门重要的基础理论课，通过学习本课程，能掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养运用概率论的知识分析和解决实际问题的能力，能以“统计思想”去思考和用“统计方法”去处理遇到的随机数据，从而作出
2、正确的统计推断.通过学习本课程，使学生对于实际生活中的随机性产生敏感、培养概率统计直觉能力，更重要的是能综合利用所学知识分析和解决一些工作和生活中的实际问题.,概率论部分侧重于理论探讨，共包括七章内容.第一章介绍概率论的基本概念，建立一系列定理和公式，寻求解决统计和随机过程问题的方法.其中包括随机事件和概率、条件概率与全概率公式、事件的独立性等；第二章引进随机变量的概念，研究随机变量的概率分布以及随机变量的数学期望、方差等数字特征.第三章讲述随机向量的概念，研究随机变量的概率分布以及随机向量的数学期望、方差、协方差、相关系数等；第四章是概率论与数理统计的连接界面，介绍大数定律和中心极限定理等；
3、,主要内容,数理统计则是以概率论作为理论基础，研究如何有效地收集整理和分析受随机影响的数据，并作出统计推断、预测或者决策.包括两章内容：第五章介绍数理统计的基本概念，有统计量、抽样分布等；第六章讲述了总体参数的点估计和区间估计方法及评价标准；第七章主要讲述单正态总体的假设检验.,1、灵活性强,3、继承性强,学习前具备的基本知识,每周4学时，共安排了64学时，4 学分。,授课学时：6062 复习与答疑：42,成绩,2、应用性强：与生活实际联系密切,概率论与数理统计发展简史,17世纪，正当研究必然性事件的数理关系获得较大发展的时候，一个研究偶然事件数量关系的数学分支开始出现，这就是概率论 早在16
4、世纪，赌博中的偶然现象就开始引起人们的注意数学家卡丹诺(Cardano)首先觉察到，赌博输赢虽然是偶然的，但较大的赌博次数会呈现一定的规律性,卡丹诺为此还写了一本论赌博的小册子，书中计算了掷两颗骰子或三颗骰子时，在一切可能的方法中有多少方法得到某一点数据说，曾与卡丹诺在三次方程发明权上发生争论的塔尔塔里亚，也曾做过类似的实验 促使概率论产生的强大动力来自社会实践首先是保险事业文艺复兴后，随着航海事业的发展，意大利开始出现海上保险业务16世纪末，在欧洲不少国家已把保险业务扩大到其它工商业上，保险的对象都是偶然性事件为了保证保险公司赢利，又使参加保险的人愿意参加保险，就需要根据对大量偶然现象规律性
5、的分析，去创立保险的一般理论于是，一种专门适用于分析偶然现象的数学工具也就成为十分必要了,概率论与数理统计发展简史,不过，概率论基础并不是在上述实际问题的材料上形成的因为这些问题的大量随机现象，常被许多错综复杂的因素所干扰，它使难以呈“自然的随机状态”因此必须从简单的材料来研究随机现象的规律性，这种材料就是所谓的“随机博弈”在近代概率论创立之前，人们正是通过对这种随机博弈现象的分析,注意到了它的一些特性,比如“多次实验中的频率稳定性”等，然后经加工提炼而形成了概率论.荷兰数学家、物理学家惠更斯（Huygens）于1657年发表了关于概率论的早期著作论赌博中的计算在此期间，法国的费尔马（Ferm
6、at）与帕斯卡（Pascal）也在相互通信中探讨了随机博弈现象中所出现的概率论的基本定理和法则惠更斯等人的工作建立了概率和数学期望等主要概念，找出了它们的基本性质和演算方法，从而塑造了概率论的雏形,概率论与数理统计发展简史,18世纪是概率论的正式形成和发展时期1713年，贝努利（Bernoulli）的名著推想的艺术发表在这部著作中，贝努利明确指出了概率论最重要的定律之一“大数定律”，并且给出了证明，这使以往建立在经验之上的频率稳定性推测理论化了，从此概率论从对特殊问题的求解，发展到了一般的理论概括继贝努利之后，法国数学家棣谟佛（Abraham de Moiver）于1781年发表了机遇原理书中
7、提出了概率乘法法则，以及“正态分”和“正态分布律”的概念，为概率论的“中心极限定理”的建立奠定了基础 1706年法国数学家蒲丰（Comte de Buffon）的偶然性的算术试验完成，他把概率和几何结合起来，开始了几何概率的研究，他提出的“蒲丰问题”就是采取概率的方法来求圆周率的尝试通过贝努利和棣谟佛的努力，使数学方法有效地应用于概率研究之中，这就把概率论的特殊发展同数学的一般发展联系起来，使概率论一开始就成为数学的一个分支,概率论与数理统计发展简史,19世纪概率论朝着建立完整的理论体系和更广泛的应用方向发展其中为之作出较大贡献的有：法国数学家拉普拉斯（Laplace），德国数学家高斯（Gau
8、ss），英国物理学家、数学家麦克斯韦（Maxwell），美国数学家、物理学家吉布斯（Gibbs）等概率论的广泛应用，使它于18和19两个世纪成为热门学科，几乎所有的科学领域，包括神学等社会科学都企图借助于概率论去解决问题，这在一定程度上造成了“滥用”的情况，因此到19世纪后半期时，人们不得不重新对概率进行检查，为它奠定牢固的逻辑基础，使它成为一门强有力的学科 1917年苏联科学家伯恩斯坦首先给出了概率论的公理体系1933年柯尔莫哥洛夫又以更完整的形式提出了概率论的公理结构，从此，更现代意义上的完整的概率论臻于完成,概率统计与金融学的关系,现代金融理论伴随着金融市场的发展大量应用概率统计，这是经
9、济数学化的最大成就，从而出现了一个全新的学科-金融数学。金融数学是以概率统计和泛函分析为基础，以随机分析和鞅理论为核心，主要研究风险资产（包括衍生金融产品和金融工具）的定价、避险和最优投资消费策略的选择。近二十几年来，金融数学不仅对金融工具的创新和对金融市场的有效运作产生直接的影响，而且对公司的投资决策和对研究开发项目的评估（如实物期权）以及在金融机构的风险管理中得到广泛应用。现在对它的研究方兴未艾,21世纪肯定是它进一步蓬勃发展的时代。,概率统计与金融学的关系,金融数学的历史可以追溯到1900年法国数学家巴谢利耶(LBachelier)的博士论文“投机的理论”(Theoryof Specul
10、ation)，这宣告了金融数学的诞生。在文中他首次用布朗运动来描述股票价格的变化，他认为在资本市场中有买有卖,买者看涨、卖者看跌,其价格的波动是布朗运动(Brownian Motion)其统计分布是正态分布,这要比爱因斯坦1905年研究布朗运动早5年。然而，巴谢利耶的工作没有引起金融学界的重视达50多年。20世纪50年代初，萨缪尔森（PaulA.Samuelson）通过统计学家萨维奇（LJ.Savage）重新发现了巴谢利耶的工作，这标志了现代金融学的开始。现代金融学随后经历了两次主要的革命，第一次是在1952年。,概率统计与金融学的关系,那年，马尔柯维茨（H.Markowitz,1952）发表
11、了他的博士论文，提出了“资产组合选择的均值方差理论”（mean-variance theory of portfolio selection）.它的意义是将原来人们期望寻找“最好”股票的想法引导到对风险和收益的量化和平衡的理解上来。给定风险水平极大化期望收益，或者给定收益水平极小化风险，这就是上述“均值方差理论”的主要思想，我们可以将它看成是一个带约束的最优化问题。稍后，夏普（W.F.Sharpe,1964）和林特纳（J.Lintner,1965）进一步拓展了马尔柯维茨的工作，提出了“资本资产定价模型”（capital asset pricing model,简称CAPM）。它的要点是确定每一
12、个股票和整个市场的相关性，于是，对于上述最优化问题，每个股票的持有量可以由该股票的平均回报率和该股票与市场的相关系数来确定。,概率统计与金融学的关系,值得一提的是20世纪60年代的另一个有影响的工作是萨缪尔森（Samuelson,1965）和法马（E.Fama，1965）的“市场有效性假设”（efficient market hypothesis）,这本质上是对于市场完备性的某种描述。他们证明，在一个运作正常的市场中，资本价格过程是一个（下）鞅，换句话说，将来的收益状况实际上是不可测的，这项工作实际上为第二次革命做了铺垫。费希尔（Fisher）和洛里（lorie）利用1920年中期倒1960年
13、中期的历史数据检测了“市场有效性假设”。他们的结果表明，在这段时间里，随机的选择股票并且持有，其平均回报率为每年9.4，它要比一般的专业经纪人为他们的顾客运作所获得的赢利来得高。,概率统计与金融学的关系,金融数学的第二次革命发生在1973年。那年，费希尔布莱克和迈伦斯科尔斯（F.Black and M.Scholes,1973）发表了著名的Black-scholes公式，给出了欧式期权定价的显示表达式。默顿和斯科尔斯在纪念布莱克的一篇文章（Merton and scholes,1995）中叙述了当年布莱克和斯科尔斯的文章被接受的困难程度，其原因是他们的工作超前了那个时代。不久，默顿获得了另一种
14、推导方法，并且给以了推广。1979年，考克斯、罗斯和鲁宾斯坦（Cox,Ross,and Rubinstein,1979）发表了二叉树模型；同时哈里森和克雷普斯（Harrison and Kreps）提出了多时段的鞅方法和套利。1981年，哈里森和普利斯卡（Harrison and Pliska,1981）提出了等价鞅测度（这与“市场有效性假设”有密切的关系）。这些工作本质上是为了风险管理这个主题服务的。,概率论在金融数学中最新的理论发展,1、鞅理论 现代金融理论最新的研究成果是鞅理论的引入。在市场是有效的假定下,证券的价格可以等价于一个鞅随机过程。由Karatzas 和Shreve 等人倡导的
15、鞅方法直接把鞅理论引入到现代金融理论中，利用等价鞅测度的概念研究衍生证券的定价问题,得到的结果不仅能深刻揭示金融市场的运行规律,而且可以提供一套有效的算法,求解复杂的衍生金融产品的定价与风险管理问题。利用鞅理论研究金融理论的另一个好处是它能够较好地解决金融市场不完备时的衍生证券定价问题，从而使现代金融理论取得了突破性的进展。目前基于鞅方法的衍生证券定价理论在现代金融理论中占主导地位,但在国内还是一个空白。,概率论在金融数学中最新的理论发展,2、最忧停时理论 最优停时理论是概率论中一个具有很强应用背景的领域,他的蓬勃发展是60 年代以后的事。近几年,在国内也有一些学者开始热心这一领域的研究,而且
16、取得了可喜的成果运用最优停时理论研究了具有固定交易费用的证券投资决策问题,给出了具有二个风险证券的投资决策问题一种简化算法。在国内有关这方面的研究尚不多见，相信运用最优停时理论来研究投资决策问题和风险最小化问题会有更大的进展。,赌徒们最关心的就是：如何在赌博中不输！,概率的起源都是骰子惹的“祸”,三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博，掷色子（又名骰子）是他们常用的一种赌博方式。,如同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，押在哪个点数上赢的机会较大？,将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。,德梅尔问题（法国）,诸如此
17、类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少，但赌徒他们自己无法给出答案,“得 分 问 题”,甲、乙两人各出同样的赌注，用掷,硬币作为博奕手段.每掷一次，若正面朝,上，甲得 1 分乙不得分.反之，乙得1分，,甲不得分.谁先得到规定分数就赢得全部,赌注.当进行到甲还差 2分乙还差3分，就,分别达到规定分数时，发生了意外使赌局,不能进行下去，问如何公平分配赌注？,公元1651年夏天，当时盛誉欧洲号称“神童”的数学家帕斯卡（Pascal），在旅途中偶然遇到了赌徒德美尔，他对帕斯卡大谈“赌经”，以消磨旅途时光德美尔还向帕斯卡请教一个亲身所遇的“分赌金”问题。,分赌金问题甲、乙二人赌技相同。各出赌注32个
18、金币。约定：不出现平局并且谁先胜三局，则谁拿走全部64个金币。现已赌了三局，甲二胜一负。此时，因故要终止赌博，问这64个金币要如何分，才算公平？,设想继续赌两局（排除不分胜负的平局），则结果无非一下四种情况之一：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙,因此，甲、乙最终获胜可能性大小之比为3:1。全部赌本应按这比例分，即甲分48个金币，乙分16个金币，才算公正合理。,这个例子颇给人以启发，即表面上看来简单自然的东西，经过深入一层的分析而揭示了其不合理之处。,使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家J.伯努利，而概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建立以后.,1933年，前苏联数学家科尔莫戈罗夫发表了
19、概率论的基本概念奠定了概率论理论基础，使其成为了一门严格的科学。,Andrey NikolaevichKolmogorov,英国生物学家和统计学家k.皮尔逊在现代数理统计的建立上起了重要作用。皮尔逊的工作是所谓“大样本统计”的前驱。,现代数理统计学作为一门独立学科的奠基人是英国数学家,他也是另一门重要统计分支假设检验的先驱之一，他引进了显著性检验概念。,法国数学家拉普拉斯(Laplace)说:,“生活中最重要的问题,其中绝大,多数在实质上只是概率的问题.”,英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾,对概率论大加赞美：“概率论是生活真正,的领路人,如果没有对概率的某种估计,那,么我们就寸步难行,无所作为
20、.,数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、,整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的,问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策,和行动提供依据和建议的 数学分支学科.,统计方法的数学理论要用到很多近代数学,知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数,学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这,样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计,学是概率论的一种应用.但是它们是两个并列,的数学分支学科，并无从属关系.,第一章 随机事件及其概率,在我们所生活的世界上充满了不确定性.从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化，我们
21、无时无刻不面临着不确定性和随机性.,引言,事实上，在自然界存在着两类现象，一类是确定性现象，另一类是随机性现象.所谓确定性现象，即在一定条件下必然会发生（或必然不会发生）的现象，例如：(1)在一标准大气压下，纯水加热到100必然沸腾；(2)在标准大气压下，温度高于4的纯水不会结冰;,（3）重物在高处必然下落；（4）异性电荷必相互吸引.上述现象，我们可以根据其赖以生存的条件，事先准确地断定其未来的结果，称之为确定性现象.,所谓非确定性现象，即在一定条件下具有多种可能的结果，究竟是发生那种结果事先无法确定的现象.例如：（1）掷一颗骰子，出现的点数可能是1，2，3，4，5，6中的某一个；（2）保险公
22、司的年赔偿金额；（3）从某厂生产的一批产品中，任意抽取4件进行检验，抽到的次品数可能是0，1，2，3或4.,随机现象,结果有可能为:,“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.,实例“抛掷一枚骰子,观 察出现的点数”.,实例“用同一门大炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况”.,结果:“弹落点可能会不同”.,实例“从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”.,实例“一只新灯泡的寿命”可长可短.,上述现象，在相同的可控制条件下进行一系列重复的观察或实验，每次出现的可能结果不止一个，而在每次实验或观察之前无法预知确切的结果，呈现出偶然性即不确定性，我们称之为随机现象.随机现象的
23、特征：（1）随机性（偶然性）；（2）大量试验的条件下其结果的发生又具有规律性.,例如，抛掷一枚形状对称、质地均匀的硬币一次，其结果可能是正面（徽花面）朝上，也可能是反面（数字面）朝上，正面出现与否，抛掷之前是无法确切地预言的.但多次重复地抛掷这枚硬币，正面出现的次数大约占抛掷总次数的一半.这种在大量重复实验或观察中呈现出的量的规律性，称之为随机现象的统计规律性.,随机现象是偶然性与必然性的辩证统一.其偶然性表现在每次实验或观察之前，不能准确地预言发生哪种结果；其必然性表现在大量重复实验或观察中，它的结果呈现出某种量的规律性.即随机现象的统计规律性.“在表面上是偶然性起作用的地方，这种偶然性始终
24、是受内部的隐蔽着的规律支配的，而问题只是在于发现这些规律.”,两个基本原理,1.1 预备知识,例 飞行在北京-天津-上海-广州航空线上的民航飞机，要准备多少种不同的飞机票？,加法原理和乘法原理是排列组合的基础.,排列组合,1.2 随机事件,随机事件 概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律性的数学学科.为了对随机现象的规律性进行研究，就要对客观事物进行观察或实验.如，观察某种商品的日销量，各种福利彩票的摇奖、某地区夏季暴雨的次数等.对随机现象的观察或实验统称为随机试验，简称试验.,概率论中所研究的随机试验具有以下特点：（1）在可控条件相同的前提下，试验可以（或原则上可以）重复进行，即重复性；（
25、2）每次试验的结果具有多种可能性，但是试验之前可以明确试验的所有可能结果，即明确性；（3）在每次试验之前不能准确地预言该次试验将会出现哪一种结果，即随机性.,例1.2.1 掷一颗骰子，观察出现的点数就是一个随机试验.例 抛一枚硬币，观察正、反面出现的情况也是一个随机试验.在概率论中，将随机试验的结果称为随机事件，简称事件.即，在每次随机试验中可能出现也可能不出现的结果称为随机事件，通常用大写拉丁字母A,B,C 表示.,例如，在掷骰子的试验中，“出现2点”、“出现偶数点”，在抛硬币的试验中，“正面朝上”等都是随机事件.,基本事件：随机试验中不能再分解的最简单的随机事件.有时也用小写希腊字母表示.
26、如，“出现2点”、“出现5点”等都是基本事件.复合事件：由若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件.如“出现偶数点”是由“出现2点”、“出现4点”、“出现6点”这三个基本事件组成的.,试验中,骰子“出现1点”,“出现2点”,“出现6点”为六个基本事件.,A=“出现奇数点”,B=“出现偶数点”,C=“出现不小于2的点”,=1,3,5,=2,4,6,=2,3,4,5,6,样本空间,例 将一枚硬币连抛3次，观察正反面出现的情况，试写出该随机试验的样本空间.解 用“H”表示出现正面，“T”表示出现反面.于是，由题设，基本事件是从两个相异元素H、T中，允许重复地取出3个元素的排列，而所有这种排列共有种可
27、能结果，所以，样本空间是,注,随机试验的样本空间是由试验的所有基本事件组成的集合.所以，只要根据题设条件，分析基本事件的特征，则样本空间为,样本空间可以是有限集，也可以是无限集.如观察“某射击手在击中目标之前的射击次数”的样本空间是,随机事件之间的关系与运算,同一试验的各种事件之间的几种主要关系和运算.1.包含关系2.相等关系3.事件的和（并）4.事件的积（交）5.事件的差6.互不相容事件7.对立事件8.完备事件组,文氏图,在集合论中，常常用“文（Venn）氏图”直观地描述集合及其相互关系.可以借助文氏图来直观地描述一个随机试验以及随机试验所包含的随机事件及其相互关系.即用平面上某一方形（或矩
28、形、或其他平面图形）区域表示必然事件即样本空间，用该区域上的子区域表示随机事件，如图,1.包含关系,图示 B 包含 A.,B,1.包含关系,若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A,则称事件A与事件B相等,记作 A=B.,2.相等关系,图示 A=B.,3.事件的和(并),实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品不合格”是“长度不合格”与“直径不合格”的并.,图示事件 A 与 B 的并.,A,图示事件A与B 的积事件.,A,B,AB,实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是“长度合格”与“直径合格”的交或积事件.,4.事件
29、的积(交),推广1,注：和事件与积事件的运算性质,推广2,5.事件的差,图示 A 与 B 的差,B,实例“长度合格但直径不合格”是“长度合格”与“直径合格”的差.,A,事件“A 发生而 B 不发生”，称为事件 A 与 B 的差.记作 A-B.,6.互不相容事件(互斥),若事件 A 与 B不能同时发生，即则称事件 A与B互不相容(互斥).,图示 A与B互斥,实例 2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,注：任意事件A与不可能事件互斥.,实例 1 抛掷一枚硬币,“出现花面”与“出现字面”是互不相容的两个事件.,实例“骰子出现1点”“骰子不出现1点”,7.对立事件,“事件A不发生”，这一事件称为A的对立
30、事件（逆事件）,（2）对立事件与互不相容事件的区别,B,A、B 对立,A、B 互不相容,互不相容,对 立,8.完备事件组,由以上关系可知，以下结论是明显的.概率论中事件之间的关系与运算和集合论中集合之间的关系与运算是一致的.,随机事件间的关系与运算的性质,设 是同一试验中的随机事件，它们满足运算律,例 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系,A,B,C 都不发生,A,B,C 不都发生,例 在图书馆中随意抽取一本书，,表示数学书，,表示中文书，,表示平装书.,抽取的是精装中文版数学书,精装书都是中文书,非数学书都是中文版的，且,中文版的书都是非数学书,则,事件,例 一个口袋中有外形完全相同的5个小球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3个球，事件A表示“球的最小编号为1”，B表示“球的编号全为奇数”，C表示“球的编号全为偶数”.,本节在明确了随机试验特点的基础上，定义了随机事件的概念，并区分了基本事件、复合事件、必然事件和不可能事件，进一步将集合论的相关概念应用于随机试验中，给出了样本空间和样本点的概念，定义了事件之间的关系，特别是引入了事件的包含、相等、交、并、差以及互不相容事件、对立事件和完备事件组的概念，为进一步研究随机现象奠定了基础.,小 结,
