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1、1,3.2 边 缘 分 布,边缘分布函数,边缘分布律,边缘概率密度,2,一、边缘分布函数,边缘分布也称为边沿分布或边际分布,1.定义,称二维随机变量(X,Y)关于分量X(Y)的分布为二元随机变量(X,Y)关于X（关于Y）的边缘分布,3,2.已知联合分布函数求边缘分布函数,设二维随机变量X,Y的联合分布函数为F(x,y),则分量X的分布函数为,FX(x)=PXx,=PXx,Y+,=F(x,+),同理,分量Y的分布函数为,FY(y)=PYy,=PX+,Yy,=F(+,y),4,例1 设二维随机变量X,Y的联合分布函数为,试求(1)常数A,B,C;,(2)X和Y的边缘分布函数。,解:(1)由分布函数
2、的性质有,F(+,+)=1;F(x,-)=0;F(-,y)=0;,5,(2)X的边缘分布函数FX(x)=F(x,+),同理,Y的边缘分布函数FY(y)=F(+,y),6,二、已知联合分布律求边缘分布律,设离散型随机变量X,Y的联合分布律为,PXi=xi,Yj=yj=pij,(i,j=1,2,),二维随机变量(X,Y),X(Y)的边缘分布律.记为:,既有:,7,离散型随机变量的边缘分布函数,其边缘分布函数记为:FX(x)和 FY(y)，则有,设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为,PXi=xi,Yj=yj=pij,(i,j=1,2,),利用几何图形进行解释,8,9,例2 从1,2,3,4这四个
3、数中随机取出一个，记为X，,再从1到X中随机地取出一个数，记为Y，试求(X,Y）,的联合分布律与X和Y的边缘分布律.,解:,X和Y的可能取值是1,2,3,4;且XY,当ij时,pij=PX=xi,Y=yj=0;,当ij时,pij=PX=xi,Y=yj,由乘法公式有,10,再由,得(X,Y)关于X与Y的边缘分布律,参见P65 例题1,11,三、已知联合密度函数求边缘密度函数,二维连续型随机变量X,Y的联合密度函数为f(x,y),求随机变量X的边缘密度函数为fX(x).,由 FX(x)=PXx,=F(x,+),同理,由 FY(y)=PYy,=F(+,y),12,例3 区域D是由抛物线y=x2及直线
4、y=x所围，随机变量,(X,Y)服从区域D上的均匀分布。试求随机变量X,Y,的联合密度函数和X,Y的边缘密度函数.,解:区域D的面积,于是随机变量(X,Y)的联合密度函数,随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,13,(2)随机变量X的边缘密度函数为,当 0 x1 时,所以,14,同理,随机变量Y的边缘密度函数为,当 0y1 时,所以,参见P66 例题2,15,例4 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为,试求:(1)常数c;(2)X与Y的边缘密度函数.,解:(1)由密度函数的性质,得,所以,c=1.,略讲,16,(2)当x0 时，,所以，X 的边缘密度函数为,17,(3)当y0 时
5、，,所以，Y 的边缘密度函数为,18,说明 设二维连续型随机变量(X,Y)服从参数为,1,2,12,22,的二维正态分布。,可以证明,X与Y的边缘密度函数为,19,结论1,结论2,即:若(X,Y)N(1,2,12,22,),则有,二维正态分布的边缘分布是一维正态分布.,上述两个边缘分布中的参数与二维正态分布,的参数无关.,结论3,说明：边缘分布可由联合分布唯一确定，反之不然，即：不能由边缘分布确定联合分布。,若(X1,Y1)N(1,2,12,22,1),(X2,Y2)N(1,2,12,22,2),(其中1 2),则(X1,Y1)与(X2,Y2)不同分布,但X1与 X2的分布相同,Y1与 Y2的分布相同.,20,作业 P85 5，9，10（1）,
