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1、第七章,参数估计,7-1,第七章,参数估计问题,假设检验问题,点 估 计,区间估 计,7-2,什么是参数估计？,参数是刻画总体某方面概率特性的数量.,当此数量未知时,从总体抽出一个样本，用某种方法对这个未知参数进行估计就是参数估计.,例如，X N(,2),若,2未知,通过构造样本的函数,给出它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容.,参数估计的类型,点估计 估计未知参数的值,区间估计 估计未知参数的取值范围，并使此范围包含未知参数 真值的概率为给定的值.,7.1 点估计,点估计的思想方法,设总体X 的分布函数的形式已知,但含有一个或多个未知参数：1,2,k,设 X1,X2,Xn为总体的一个样本
2、,构造 k 个统计量：,随机变量,7-5,7.1,当测得样本值(x1,x2,xn)时,代入上述统计量，即可得到 k 个数：,数 值,如何构造统计量？,如何评价估计量的好坏？,7-6,三种常用的点估计方法,频率替换法,利用事件A 在 n 次试验中发生的频率,作为事件A 发生的概率 p 的估计量,7-7,法一,解 由,查表得,于是 的估计值为,7-8,例1,方法,用样本 k 阶矩作为总体 k 阶矩的估计量,建立含有待估参数的方程,从而解出待估参数,7-9,一般,不论总体服从什么分布,总体期望 与方差 2 存在,则它们的矩估计量分别为,矩法,法二,7-10,事实上，按矩法原理，令,7-11,设待估计
3、的参数为,设总体的 k 阶矩存在，记为,样本 X1,X2,Xn 的 k 阶矩为,令,含未知参数 1,2,n 的方程组,7-12,解方程组,得 k 个统计量：,未知参数 1,n 的矩估计量,代入一组样本值得 n个数:,未知参数 1,n 的矩估计值,例2 设总体 X N(,2),X1,X2,Xn为 总体的样本,求,2 的矩法估计量.,解,例3 设总体 X E(),X1,X2,Xn为总体的 样本,求 的矩法估计量.,解,令,7-13,故,例23,例4 设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时)1050,1100,1080,1120,1200 1250,1040,113
4、0,1300,1200试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差.,解,7-14,例4,例5 设总体 X U(a,b),a,b 未知,求参数 a,b 的 矩法估计量.,解,由于,令,7-15,例5,解得,7-16,极大似然估计法,思想方法：一次试验就出现的 事件有较大的概率,例如:有两外形相同的箱子,各装100个球 一箱 99个白球 1 个红球 一箱 1 个白球 99个红球,现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球.,答:第一箱.,7-17,问:所取的球来自哪一箱？,法三,例6 设总体 X 服从0-1分布,且P(X=1)=p,用极大似然法求 p 的估计值.,解,
5、总体 X 的概率分布为,设 x1,x2,xn为总体样本X1,X2,Xn的样本值,则,7-18,例6,对于不同的 p,L(p)不同,见右下图,现经过一次试验，,7-19,在容许范围内选择 p，使L(p)最大,注意到，ln L(p)是 L 的单调增函数,故若某个p 使ln L(p)最大,则这个p 必使L(p)最大。,7-20,一般,设 X 为离散型随机变量,其分布律为,则样本 X1,X2,Xn的概率分布为,7-21,或,称 L()为样本的似然函数,称这样得到的,为参数 的极大似然估计值,称统计量,为参数 的极大似然估计量,7-22,极大似然法的思想,若 X 连续,取 f(xi,)为Xi 的密度函数
6、,似然函数为,7-23,注1,注2,未知参数可以不止一个,如1,k,设X 的密度(或分布)为,则定义似然函数为,为似然方程组,若对于某组给定的样本值 x1,x2,xn，参数 使似然函数取得最大值,即,7-24,显然，,称统计量,为1,2,k 的极大似然估计量,7-25,例7 设总体 X N(,2),x1,x2,xn 是 X 的样本值,求,2 的极大似然估计.,解,7-26,例7,2 的极大似然估计量分别为,7-27,极大似然估计方法,1）写出似然函数 L,7-28,可得未知参数的极大似然估计值,然后,再求得极大似然估计量.,7-29,L是 的可微函数,解似然方程组,若,L不是 的可微函数,需用
7、其它方法求极大似然估计值.请看下例：,若,例8 设 X U(a,b),x1,x2,xn 是 X 的一个样本值,求 a,b 的极大似然估计值与极大似然估计量.,似然函数为,7-30,例8,似然函数只有当 a xi b,i=1,2,n 时才能获得最大值,且 a 越大,b 越小,L 越大.,令,xmin=min x1,x2,xnxmax=max x1,x2,xn,取,7-31,都有,故,是 a,b 的极大似然估计值.,分别是 a,b 的极大似然估计量.,7-32,问 题,1)待估参数的极大似然估计是否一定存在?,2)若存在,是否惟一?,设 X U(a,a+),x1,x2,xn 是 X的一个样本,求 a 的极大似然估计值.,解,由上例可知,当,时,L 取最大值 1,即,显然,a 的极大似然估计值可能不存在,也可能不惟一.,7-33,例9,例9,不仅如此,任何一个统计量,若满足,都可以作为 a 的估计量.,7-34,极大似然估计的不变性,设 是 的极大似然估计值,u(),()是 的函数,且有单值反函数,=(u),uU 则 是 u()的极大似然估计值.,7-35,不变性,如 在正态总体N(,2)中,2的极大 似然估计值为,lg 的极大似然估计值为,7-36,
