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1、概率论与数理统计第2章随机变量及其分布函数,第二章 随机变量及其分布函数,2.1 随机变量2.2 离散型随机变量及其分布律2.3 随机变量的分布函数2.4 连续型随机变量及其分布密度2.5 随机变量函数的分布,例(1)随机地掷一颗骰子，表示所有的样本点,:出现1点 出现2点 出现3点 出现4点 出现5点 出现6点,X():1 2 3 4 5 6,(2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为止，表示射击次数，则,射击1次 射击2次.射击n次.,X()1 2.n.,(3)某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时间到达车站,表示该旅客的候车时间,候车时间,X()0,10,2.1 随机变
2、量,定义1 设(,F,P)是一个概率空间，对于,()是一个取实值的单值函数；若对于任一实数x，:()x F，则称()为随机变量.随机变量一般用X,Y,Z,或,等表示.对于任意实数a,b(ab)，a b，b，abab，=a，a是事件吗？b=b-1/n F a 是 a的对立事件。,随机变量,离散型随机变量：只取有限个数值或可数无穷多个值。,非离散型随机变量：可以取到某区间内任一数值。,2.2 离散型随机变量及其分布律,定义2 设随机变量为离散型,其一切可能取值为x1,x2,.,x n,.且 pn=P(=xn),n=1,2,.,称此公式为X的概率函数或分布列.,或者,性质(1)pn0,n=1,2,.
3、；(2)p1+p2+.+pn+=1。,例如 在掷一颗骰子的试验中,表示出现的点数,则,的概率分布为,设A表示出现奇数点,则P(A)=P(x=1)+P(x=3)+P(x=5)=1/3,例1 某试验出现“成功”的概率为p(0p1),出现“失败”的概率为1-p，现进行一次试验,求成功次数的概率分布.,解 设随机变量X表示成功次数,则X=0表示试验出现“失败”,X=1表示试验出现“成功”P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,所以,X的概率分布为:,两点分布,注 两点分布用于描述只有两种对立结果的随机试验.,常见的离散型随机变量的概率分布,(1)两点分布(0-1分布),注 二项分布的试验背景是n重Be
4、rnoulli试验模型;其中n是试验独立重复的次数,p是每一次基本试验“成功”的概率.随机变量X指n次试验中“成功”出现的次数.,单调性 最有可能出现的次数 m=(n+1)p,(2)二项分布 若随机变量X的概率分布为,(3)泊松分布,定义 若随机变量X的概率分布为,则称X服从参数为(0)的Possion分布,记为XP().,可以证明 当n很大,p很小,=np是一个不太大的常数时,可以用泊松分布作为二项分布的近似.即泊松定理,1.设在一次试验中,事件A出现的概率为p,现进行n次独立重复试验,则A至少出现一次的概率为();事件A至多出现一次的概率为().2.设三次独立重复试验中,事件A在每次试验中
5、出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于26/27,则事件A在一次试验中出现的概率为().,课堂练习,解 1.1-(1-p)n;(1-p)n+np(1-p)n-1,2.由1-(1-p)3=26/27解得 p=2/3,注意,离散型随机变量的概率分布分以下几步来求:(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率.(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）.,例2 设一试验成功的概率为p(0p1),接连重复进行试验,直到首次成功出现为止,求试验次数的概率分布.,解 设X表示试验次数,X取值为1,2,.,n,.,P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p
6、,.,P(X=n)=(1-p)n-1p,.,记 q=1-p,则X的概率分布为:,几何分布,P(X=n)=qn-1p,(n=1,2,.),例3 袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回,直到取得黑球为至。记X为取到白球的数目,Y为抽取次数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。,解(1)X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=5/8,P(X=1)=(35)/(87)=15/56,类似有P(X=2)=(325)/(8 7 6)=5/56,P(X=3)=1/56,所以,X的概率分布为,(2)Y的可能取值为1,2,3,4,P(Y=1)=5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,类似有 P
7、(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以Y的概率分布为,(3)P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56,例4 某车间有5台同类型的机床,每台机床配备的电动机功率为10千瓦.每台机床工作时平均每小时实际开动 20分钟,且每台开动与否相互独立.因电力供应紧张,电力部门仅提供30千瓦的电力给这5台机床.问5台机床正常工作的概率有多大?,解 设A为“机床实际在开动”,X为“同时开动的机床数”,则,P(A)=1/3,XB(n,p),其中n=5,p=1/3,所求概率为,P(X3),=1-P(X=4)-P(X=5),0.95,定义3 设是一个随机变量,对于任意实
8、数x,令 F(x)=P(x),x则称F(x)为随机变量的分布函数.Pa b=F(b)F(a),(3),(1)F(x)是x的单调不减函数;(2)F(x)在每一点处均是右连续的,即:F(x+0)=F(x),1.分布函数,定理3（分布函数性质）,2.3随机变量的分布函数,例4 设随机变量X服从参数为0.7的0-1分布,即:,求X的分布函数.,解(1)当x0时,F(x)=P(Xx)=,=0,(2)当0 x 1时,F(x)=P(Xx),=P(X=0)=0.3,(3)当1x时,F(x)=P(Xx)=,=P(X=0)+P(X=1)=1,分布函数图形如下,x,F(x),1,1,0.3,0,所以,(1)离散型随
9、机变量的分布函数是分段函数,分段区间是由 X的取值点划分成的左闭右开区间;(2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增;(3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的对应概率值.,由此可见,2.4 连续型随机变量及其概率密度函数,定义4 设随机变量的分布函数为F(x),如果存在非负可积函数f(x)，x（，），对一切实数x有则称为连续型随机变量，函数f(x)称为的分布密度函数或概率密度函数连续型随机变量的密布度函数具有以下性质：,f(x)0,x;,连续型随机变量的分布密度函数,2、取任意实数值a的概率为零，P=a=0。进而，Pa b=P a b=P a b=P a b但，P=a=0，但
10、事件=a 并非不可能事件。,1、连续型随机变量在区间(a,b内取值的概率为,常见的连续型随机变量的概率密度,(1)均匀分布,称X服从a,b上的均匀分布.记为 U(a,b).,对任意acdb,有,即 均匀分布在a,b上任何一个子区间内取值的概率与该区间的长度成正比,与它在a,b中的位置无关.,(2)指数分布,则称 X服从参数为的指数分布,记为XE()(0).,定义,若随机变量X的概率密度函数为,概率密度曲线如图:,注 指数分布常用作各种“寿命”分布的近似.,无记忆性,称 随机变量 X服从参数为,的正态分布,0，是任意实数，记为,(3)正态分布,定义 若随机变量X的概率密度函数为,注(1)概率密度
11、曲线是以x=为对称轴,以y=0为渐近线的R上的连续函数;,f(x),x,0,(2)在x=点f(x)取得最大值:,X N(,2),(3)曲线f(x)与x轴之间的面积是1.,特别,若=0,2=1,即,则称X服从标准正态分布.记为,XN(0,1),x,0,注 标准正态分布的概率密度曲线以y轴为对称轴.,例6 设随机变量X,求(1)A;(2)P(-1/2X1/2);(3)P(-3X2),解(1),即,所以 A=1/,A=1,(2)P(-1/2X1/2)=,=1/(/6+/6)=1/3,(3)P(-3X2)=,=1,例7 设 随机变量X服从2,5上的均匀分布.对 X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值
12、大于3的概率。,解 由题意得:,记A=X3,则P(A)=P(X3)=,2/3,设Y表示三次独立观测中A出现的次数,则YB(3,2/3),所求为P(Y2)=,P(Y=2)+P(Y=3),=20/27,对任意ab有 P(aXb)=P(Xb)-P(Xa)=F(b+0)-F(a+0);P(a Xb)=P(Xb)-P(Xa)=F(b)-F(a);P(Xa)=F(a+0);P(Xa)=1-P(Xa)=1-F(a+0).对于离散型随机变量X的分布函数有 F(x)=,对于连续型随机变量X的分布函数有,(1),(3)F(x)是(-,+)上的连续函数;(4)P(X=x)=F(x)-F(x-0)=0;,(2)f(x
13、)=,(5)对任意aa)=1-P(Xa)=1-F(a).,例9 设随机变量X服从-1,2区间上的均匀分布,求X的分布函数.,解,如图:,-1,2,分析,F(-2)=,=0,-2,1,3,F(1)=,=2/3,F(3)=,=1,F(1),x,f(x),F(3),(1)x-1时,F(x)=,=0,=1,(2)-1x2时,F(x)=,(3)2x时,F(x)=,所求分布函数为,x,F(x),-1,1,2,1,0,可见(1)连续型随机变量X的分布函数F(x)为单调 递增的连续函数;(2)F(x)为分段函数,区间划分同f(x)的划分,区间划分点可以属于该点左右的任何一个区间.,例10 设连续型随机变量X的
14、分布函数为,求:(1)A;(2)P(0.3X0.7);(3)X的概率密度f(x).,解(1)F(x)在x=1点连续,由左连续性得:,即:,所以,A=1,(2)P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=,0.72-0.32=0.4,(3)f(x)=,=,0 x02x 0 x10 1x,即:,x,0,注(1),x,-x,标准正态分布的分布函数,2.正态分布的分布函数及其计算,(2)P(|X|a)=(a)-(-a)=(a)1-(a),=2(a)-1.,正态分布的分布函数,若XN(,),则,所以,若XN(,),则对任意的ab有P(aXb)=,正态分布分布函数的Excel实现,统计,函数分类,N
15、ormsdist 标准正态分布函数值,Normsinv 标准正态分布分位数,Normdist 一般正态分布函数值,Norminv 一般正态分布分位数,例11 设XN(10,4),求P(10X13),P(|X-10|2).,解 P(10X13)=,=(1.5)-(0)=,0.4332,P(|X-10|2)=,P(8X12),=2(1)-1,=0.6826,=(1)-(-1),=(1)-1-(1),例12 设XN(,),P(X-1.6)=0.036,P(X5.9)=0.758,求及.,解 P(X-1.6)=,所以:,又P(X5.9)=,所以:,联立解方程组得:,=3,=3.8,特别(0)=0.5;
16、(1.28)=0.90;(1.64)=0.95;(1.96)=0.975;(2.33)=0.99.,例13 某地抽样结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似 服从 正态分布，平均成绩为 72分，96分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60分至80分之间的概率。,解 设X为考生的外语成绩,则,XN(72,),由题意得:,P(X96)=0.023,=1-(96-72)/=,1-(24/),所以,(24/)=1-0.023=0.977,24/=2,故:,=12,所求P(60X84)=,=0.682,1.已知XN(3,2),且 PXC=PXC则C=（),2.设XN(，4),YN(，5)
17、,记 p1=PX-4，p2=PY+5则()对任意实数，都有p1=p2 对任意实数，都有p1p2,3,课堂练习,f(x),x,0,P(X),P(X),设XN(，),则随的增大，概率P|X-|（）单调增大 单调减少 保持不变 增减不定,设 X N（10，0.02),（2.5）=0.9938，则X落在区间（9.95，10.05）内的概率为().设X N（2，),且P2X4=0.3,则 PX0=().,0.9876,0.2,2.5 随机变量函数的分布,离散型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布,例1 设随机变量X的概率分布如下,Y=2X+1,Z=X2,求Y,Z的概率分布.,解(1)Y的对应取值为
18、-1,1,3,5,P(Y=-1)=P(2X+1=-1)=P(X=-1),=0.2,P(Y=1)=P(X=0)=0.3,P(Y=3)=P(X=1)=0.1,P(Y=5)=P(X=2)=0.4,所以Y的概率分布为,(2)Z的取值为0,1,4,P(Z=0)=P(X=0)=0.3,P(Z=1)=P(X=1)+P(X=-1)=0.3,P(Z=2)=P(X=2)=0.4,所以Z的概率分布为:,注意,离散型随机变量函数的概率分布分以下两步来求:,(1)由y=g(x)计算出随机变量Y的所有取值y1,y2,.,yn,.;(2)P(Y=yn)为yn 对应的随机变量X的取值的概率和.,例如,Y=X2+1,则,Y 1 2 5P 0.2 0.5 0.3,例2 设随机变量X,Y=2X+1,求随机变量Y的概率密度函数fY(y).,解(1)求Y的分布函数FY(y):,FY(y)=P(Yy)=,=FX(,P(2X+1y),=P(X,(2)对分布函数求导:,f Y(y)=,=,利用复合函数链式法则得:,f Y(y)=,=,将fX(x)代入得:,f Y(y)=,=,连续型随机变量函数的概率密度函数,随机变量的线性变换,随机变量的平方变换,课堂练习,
