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1、一、随机变量的相互独立性,随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.,两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.,3.4 随机变量的独立性,定义,设X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有,则称X,Y 相互独立.,它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.,也可以用分布函数表示.,若(X,Y)是离散型随机变量，则上述独立性的定义等价于：,则称X 和Y 相互独立.,对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有,二、离散型随机变量的独立性,即,其中f(x,y)是X,Y的联合密度，,成立，则称X,Y相互独立.,若对任意的 x,y
2、,有,若(X,Y)是连续型随机变量,则上述独立性的定义等价于：,分别是X和Y的边缘密度函数.,三、连续型随机变量的独立性,(1)X 与Y相互独立的本质是：,对任意实数a,b,c,d，有,(2)X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.,注 意,对于任意的i,j,都有 pij=pi.p.j,（1）离散型随机变量X和Y相互独立的充要条件:,（2）连续型随机变量X和Y相互独立的充要条件:在f(x,y)，fX(x)，fY(y)的一切连续点（x，y），f(x,y)=fX(x)fY(y)成立.,随机变量独立的充要条件,Y 0 1P 0.5 0.5,例1,(X,Y)的联合分布律为:,问 X与Y 是
3、否独立？,解:边缘分布律为:,X 0 1P 0.7 0.3,因为,所以不独立.,例2 设某种货物的需求量X与供应量Y都在0，a上服从均匀分布，并且两者相互独立，求缺货的概率.,解:由题设,fX(x)=,fY(y)=,f(x,y)=fX(x)fY(y)=,PXY=,X与Y相互独立的充要条件是:,小 结,称随机变量X和Y是相互独立的，若对一切x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y),（1）离散型随机变量X和Y相互独立的充要条件:对任意的i,j都有Pij=pi pj.,（2）连续型随机变量X和Y相互独立的充要条件:在f(x,y)，fX(x)，fY(y)的一切连续点（x，y），f(x,y)=fX(x)fY(y)成立.,课堂练习,则,1设随机变量X与Y相互独立，且,B,2.设随机变量X与Y相互独立且同分布，已知,则（）.,B,
