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1、,第四章,第二节,泊松分布(14),二、泊松定理,三、泊松分布的数学期望与方差,一、泊松分布,一、泊松分布,设随机变量 X 的分布律为,显然有:,（1）非负性:,（2）规范性:,定义:,泊松分布是概率论中又一重要的概率分布.,一方面,例如:某网站一段时间间隔内受到的点击次数;,公共汽车站候车的乘客人数;,炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎弹片个数;,落在显微镜上某种细菌个数,另一方面,很多随机现象都服从或近似服从泊松分布.,泊松分布可看为二项分布的极限分布.,对此有如下定理:,二、泊松定理,定理:,设随机变量,服从二项分布,且满足,其中概率 与 n 有关,则,证:,令，则,对于任意固定的非负整数
2、k，有,证毕.,故得,在应用中,当 且 n 很大，,时,p 很小,有下面的泊松近似公式(其中),由于泊松分布有着广泛的应用,的数值已造成表(见书末附表1及附表2),计算时可查表.,例1.,为了保证设备正常工作,需配备适量的维修工人,（配,备多了浪费,配备少了又会影响 生产),现有同类型设备,300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.,在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理,(我们也,只考虑这种情况),问至少需配备多少工人,才能保证当设,备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?,解:,设需配备 N 人,记同一时刻发生故障的设备台数为X,那么,所需解决的问题是确定的N,使
3、得,由泊松定理,即,查表知满足上式最小的 N 是8,即需至少配备8名维修工.,（1）保险公司亏本的概率是多少?,例2.,保险事业是最早使用概率论的部门之一,保险公司,为了估计其利润,需要计算各种概率.,保险公司现在为社,会提供一项人寿保险,据已有的资料显示:,人群中与这,项保险业务有关的死亡概率为0.0020,今有2500人参加这,项保险,每个参保的人员在每年1月1日交付120元保险金,而在死亡时家属可从公司领取20000元保险金.,试问:,（2）保险公司赢利不少于100000元、200000元的概率,是多少?,分析:,每年1月1日,保险公司的收入 元,若一年中死亡 x 人,则保险公司这一年应付出20000 x 元，,因此“公司亏本”意味着20000 x 300000 即 x 15人,这样“公司亏本”这一事件等价于“一年中多于15人死亡”,的事件，,从而转求“一年中多于15人死亡”的概率，,“参加保险的一个人在一年中是否死亡”看作一次随机,若把,试验,则问题可用,的伯努利试验来,近似.,由泊松定理,经查表可得：,(1),(2)赢利不少于100000元，则意味着,则,同理，盈利不少于200000元,即,设 X 为一年中这些参保人员里死亡的人数.,则,解:,三、泊松分布的数学期望与方差,其分布律为,设，,则,作业,第四章 1；2；3；4；5；6.,预习:第二,三节,
