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1、5.2 抽样分布,统计量作为样本的函数是一个随机变量，统计量的分布称为抽样分布。下面介绍几个来自正态总体的常用统计量的分布，它们也是在数理统计中应用最广的抽样分布,5.2.1.统计量的三大分布,分布是由正态分布派生出来的一种分布.,记为,定义:设 相互独立,都服从标准正态分布N(0,1),则称随机变量：所服从的分布为自由度为 n 的 分布.,2.2分布的密度函数f(y)曲线,由 分布的定义，不难得到以下性质：,2.设 且X1,X2相互独立，则,这个性质叫 分布的可加性.,的分布近似标准正态分布N(0,1).,记为Tt(n).,2、t 分布,t(n)的概率密度为,当n充分大时，其图形类似于标准正
2、态分布密度函数的图形.,由定义可见，,3、F分布,若XF(n1,n2)，X的概率密度为,例1 已知Xt(n),证明X2F(1,n).,因为Xt(n),所以存在Y1N(0,1),Y22(n),使得,证,由定义知,而,所以,例2 设总体XN(0,1),X1,X2,.,Xn为简单随机样本,试问下列统计量个服从什么分布?,解,(1),(2),(3),3.分位数 设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),对于给定的：01，称满足,的,为此分布的上分位数,它的几何意义如下：,分位数的性质：,证明（3）:设FF(n1,n2),则,得证!,例1 查表求下列分位数的值,解,几个常见的抽样分布,(1)证明,(X
3、1,X2,Xn)是n 个独立的正态随机变量的线性组合,故服从正态分布,(4)证明:,且U与V独立,根据t分布的构造,得证!,定理5.2,证,(1),因为,经标准化后即得结论.,(2),又由定理5.1(3),且U与V相互独立,再由t分布的定义得,化简即得所得结果.,例2：设总体XN(10,32),X1，Xn是它的一个样本,(1)写出Z所服从的分布;(2)求P(Z11).,解 因为XN(10,32),设,又,从而,所以,例3：设X1，X10是取自N（0，0.32)的样本,求,解 因为,所以,则,从而,查表得,所以,例4：设X1，Xn是取自N（,2)的样本,求样本方差S2的期望。,解,结论:无论总体
4、X服从什么分布,它的样本方差S2的期望就是它的方差.即,直方图,设X是一个随机变量，如何根据样本值x1,x2,xn近似求出它的概率密度(或分布函数)呢？现在介绍一种近似求概率密度的图解法直方图,(1)先把样本值x1,x2,xn进行分组：,(i)找出样本值x1,x2,xn的最小值与最大值，分别记为,(iii)数出样本值落在区间(ti,ti+1中的个数，记为ni(i=0,1,2,m),为了掌握分组的三个步骤(i),(ii),(iii),看104页例4.4,下面根据分组情况来做直方图。,其中,a=t0t1t2tmtm+1=b,现假设X的概率密度为f(t),则有,由于n个样本的抽取是独立的，有概率的统
5、计定义可知，fi近似等于随机变量X落入区间(ti,ti+1的概率，即,则fi是样本值落入区间(ti,ti+1的频数。,(2)记,在上式中，fi(i=0,1,m)是已知的，而 f(x)是未知，但它们之间有近似关系。怎样由fi去近似得出f(x)呢？为直观起见，我们借助于图形。,(3)在平面上，画一排竖着的长方形：对每个i(0i m),以ti,ti+1为底，以,见图,o,x,y,t1,ti,ti+1,直方图,这个图的好处就在于，它大致地描述了X的概率分布情况，因为每个长方形的面积，刚好近似地代表了X取值落入“底边”的概率。,只要有了直方图，就可大致画出概率密度曲线：让曲线大致经过每个竖着的长方形的“上边”。,上面介绍的直方图法对于连续型的随机变量才用得上，现在介绍一种方法，无论对连续型的或离散性的随机变量都可以用，这就是X的样本作出X的“经验分布函数”，它是分布函数的良好近似。,换句话说，对任何实数x，Fn(x)等于诸xi中不超过x的个数再除以n，从频率与概率的关系知道，Fn(x)可以作为未知分布函数的一个近似。n越大，近似得就越好.,证明,从而,又,所以,
