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1、第三节 非周期信号的频域描述,非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换。公式:,或,傅里叶变换（FT）,傅里叶反变换(IFT),傅里叶变换与傅里叶反变换构成一对傅里叶变换对,由傅里叶级数到傅里叶变换 非周期信号按照定义不能按傅里叶级数分解成许多正(余)弦谐波之和，但为了了解其频域描述，可援引周期信号的方法加以解决，即将一非周期信号仍当作周期信号处理，认为其周期趋于无穷大。,设x(t)为周期信号在(-T/2,T/2)区间内傅里叶展开式为,其中,将Cn代入，得,相邻谐波谱线间的频率增量改写上式,式中，n取整数0，
2、1，2，因而各谐波频率n0只能取离散值；,若T，则0，原来只能取离散值的谐波频率n0变为可连续取值的连续变量。,在数学上，T就意味着上式中,将=2f代入上式得,避免了在傅里叶变换中出现1/2的常数因子,傅里叶变换,傅里叶积分存在条件是：(1)x(t)在有限区间上满足狄里赫条件；(2)积分收敛，即x(t)在无限区间上绝对可积。周期信号可以通过傅里叶级数分解成为无限多项谐波的代数和。与此类似，非周期信号则可通过傅里叶积分“分解”成“无限多项谐波”的积分和。从所起的作用看，傅里叶积分与傅里叶级数类似。,由于非周期信号的周期T，基频fdf，它包含了从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅值为X(f)
3、df，这是无穷小量，所以频谱不能再用幅值表示，而必须用幅值密度函数描述。,另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱线出现在0,fmax的各连续频率值上，这种频谱称为连续谱。,X(f)为x(t)的频域描述,是复函数,幅值谱相位谱,例1 求矩形窗函数,的频谱,特点：1 非周期信号的频谱是连续谱 2 幅值谱是单位频宽上的幅值 3 时域有限，谱域无限 4一般,随频率值增大,对应的幅值逐渐降低(特殊情况下不成立),提示:由欧拉公式：,sinc 函数,三、傅立叶变换的主要性质,如果则,三、傅立叶变换的主要性质,a.奇偶虚实性 b.线性叠加性 c.对称性 d.时间尺度改变性 e.时移性,f.时域卷积定理,时
4、域卷积定理：时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积，既在时间域中两信号的卷积，等效于在频域中频谱中相乘。,主要性质的证明P13-16,互易对偶性质(对称性),时间展缩性质,例子：求下图波形的频谱,线性叠加性,例2单位脉冲函数(函数),1)函数的定义在数学上，如果函数s(t)仅在区间0,上具有脉冲样图形(矩形脉冲、三角形脉冲等)，并且此图形与t轴围成的面积为1，如图5.14(a)所示，那么当脉冲宽度0时，函数s(t)的极限称为函数。根据此定义不难看出函数有如下特点：,t=0,2)函数的采样性质若x(t)为一时域连续信号，则乘积(t)x(t)仅在t=0处得到(t)x(0)，其余均为零，于是,
5、可见(t)与x(t)相乘后积分，其作用就是取出了信号x(t)在t=0时刻的一个值，x(0)为一个采样点。,同样，对有延时的函数(t-t0)，其值仅在t=t0时刻才不为零，于是,此时，得到了x(t)在t=t0时刻的一个采样点x(t0)。在工程上，利用单位脉冲函数的概念，可将采样过程看成是信号与单位脉冲函数的简单乘积。,3)函数与其它函数的卷积,同样:,卷积定义,函数与其它函数的卷积,重要结论：任意函数和函数的卷积，就是简单地将该函数在自己的横轴上平移到函数所对应的位置,函数与函数的卷积,4)函数的频谱将函数进行傅里叶变换，即可得到其频谱函数：,由此可见，时域的脉冲信号具有无限宽广的频谱，而且各频
6、率上的信号强度都相等。在信号的检测中，一般爆发电火花地方(如雷电、火花塞等)都会对测试系统引起严重干扰，这是因为尖脉冲(类似函数，能量均匀地分布在0的频带内)的高频部分以射频形式发射出来，对测试系统形成干扰的缘故。凡是频谱为常数的信号俗称白噪声。“白”是由白色光引申而来，意即白色的光谱频率丰富。脉冲就是一种理想的白噪声。,根据傅里叶变换的对称性、时移性和频移性等，可得到下列傅里叶变换对：,时域,频域,例3正余弦,由欧拉公式：,由频移性,傅里叶级数的复指数展开和傅里叶变换 获得相同的频谱,例4指数衰减信号的频谱,5 频谱分析的应用,频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手
7、段。,案例：在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障齿轮。,案例：螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。,谱阵分析：设备启/停车变速过程分析,第四节 几种典型信号的频谱,周期方波正余弦矩形窗三角窗单位脉冲周期单位脉冲（采样函数）,周期单位脉冲（采样函数）,等间隔的周期性单位脉冲序列的周期为Ts，如图5.16(a)所示。它的数学表达式为,n=0,1,2,若用傅里叶级数表示，则,所以,（5.26）,两端取傅里叶变换，即得n(t)的频谱,频谱图可以看出，时域中周期为Ts的脉冲序列在频域中仍是周期为1/Ts的脉冲序列，其幅值为时域中脉冲幅值的1/Ts倍。,用计算机进行信号分析时，首先要将连续的模拟信号x(t)变为一连串离散的时间序列。以数字量的形式存入一个个内存单元中，然后进行各种计算。为了实现这一过程，可先用n(t)与连续信号x(t)相乘。根据函数的采样性质可知，相乘后便得到一离散的时间序列。由此看来，周期性单位脉冲序列n(t)在数学上具有采样功能，因此又称采样函数。相应地，Ts称采样间隔，也称采样周期，其倒数1/Ts=fs称采样频率。,作业:2-1(用复指数函数形式)2-2(a0,t=0)2-5 2-6(注意:1/f0=T0)提示:FT的定义及性质,
