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1、第三章 测试信号的分析与处理,准备知识:随机信号特征参量,均值：,均方值：,方差：,关系：,相关是用来描述一个随机过程自身在不同时刻的状态间，或两个随机过程在某个时刻状态间线性依存关系的数字特征。,1 相关与相关系数,第一节 相关分析及应用,随机变量：如果这两个变量之间具有某种内涵的物理联系，那么通过大量统计就能发现它们之间还是存在着某种虽不精确但却具有相应的表征其特征的近似关系,确定信号：确定的函数关系,一一对应并为确定的数值,如：体重身高-100(近似),相关程度,如，玻璃管温度计液面高度(Y)与环境温度(x)的关系就是近似理想的线性相关，在两个变量相关的情况下，可以用其中一个可以测量的量
2、的变化来表示另一个量的变化。,相关性高低描述:相关系数,相关系数:描述变量x，y之间的相关性。是两随机变量之积的数学期望，称为相关性，表征了x、y之间的关联程度。,:均值,:标准差,协方差：,由柯西许瓦兹不等式:,时,x,y线性相关,时,x,y完全无关,但可能存在某种非线性关系,即:相关系数1,越大相关性越好,2 信号的自相关函数(时差域描述),x(t)是各态历经随机过程,x(t+)是时移后的样本,即二者有相同的统计特征参量。,记,为,则有:,定义:,-自相关函数,则,与,成线性关系,自相关函数描述了信号的某时刻值与延时一定时间后的值之间的相互关系，它定量地描述了一个信号在时间轴上平移后所得波
3、形与原波形相似的程度。,自相关函数特点:,2,I),II),=0时,有最大值,III),时,x(t)与 x(t+)彼此无关,故,(2),(1)自相关函数是偶函数证明如下:,取值范围,令,则,=,=,由,得到,(3),周期函数的自相关函数仍是同频周期函数，幅值与原信号有关，相位信息丢失。且周期函数自相关函数的计算在一个周期内进行即可,证:x(t)是周期信号,T0是周期,有,=,例2：求周期方波的自相关提示：傅立叶级数展开，分别求相关结果：周期三角波,例1.求,的自相关函数,四种典型信号的概率密度曲线和自相关函数,3 信号的互相关函数,定义:,-互相关函数,互相关函数特点:,该互相关函数描述了两信
4、号之间一般的依赖关系。,(1)互相关函数是非奇、非偶函数,注意下标,I),II),III),时有最大值,时,x(t)与 y(t)不相关,故,(2),取值范围,(3)同频相关,不同频不相关互相关函数保留原信号的频率，幅值及两信号的相位差周期函数互相关函数可在一个周期内计算,例3.求,的互相关函数（频率相同）,例4.求,的互相关函数（频率不相同）,=0,例5.P35求如图信号的,提示：y(t)如果移动，繁琐所以先求,相关估计见P31,4.应用：,1)自相关函数在工程测试中，自相关函数最主要的应用是检查混淆在随机信号中的确定性周期信号。例如，在汽车进行平稳性试验时，测得汽车在某处的加速度的时间历程如
5、图(a)所示。将此信号送入信号处理机处理，获得如图(b)所示的相关函数。由相关图看出车身振动含有某一周期振动信号，两个峰值的时间间隔为0.11 s，可算出周期振动信号的频率为,相关滤波：,2)互相关函数在工程中的应用主要有以下几方面：I）滞后时间的测量(1)测量运动速度。互相关函数可用来测定汽车、炮弹、轧制钢带的速度，以及导管内和风洞内气流的速度等。例如要测定炮弹的速度，可在相距l m的两处设置两个光电式传感器，炮弹通过时拾取反射光的信号做出互相关函数图，根据峰值出现的时间0，即可求得速度,II)案例：地下输油管道漏损位置的探测 漏损处视为传播声源，两侧管道分别放置传感器，因为放置传感器的两点
6、距漏损处的距离不相等，放漏油的音响传至两传感器时就有时差。在互相关图上=0处Rxy()有最大值，这个0就是时差。根据0便可确定漏损处的位置。,式中：S两传感器的中点至漏油处的距离；v 音响通过管道的传播速度。,第二节 功率谱分析,一、自功率谱,1.定义:,若自相关函数Rx()的傅里叶变换存在，则Rx()的傅里叶变换,称为x(t)的自功率谱密度函数，包含Rx()的全部信息,与,为傅立叶变换对,维钠-辛钦（Wiener-Khinthchine）公式,逆变换,即Sx(f)曲线下与频率轴所包围的面积为信号的平均功率，Sx(f)就是信号的功率沿频率轴的分布，所以Sx(f)称为功率谱密度函数,2.物理意义
7、:=0时,由自相关及自功率谱定义,注意:平均功率针对具体问题时才有物理意义P32,3.帕斯瓦尔（Parsevel）定理,时域中信号总能量等于频域中信号总能量,即,（信号能量等式，|X(f)|2称成为能量谱）,证明：P33,4.X(f)与Sx(f)的关系,平均功率,故有,因此,可利用时域信号的傅立叶变换求功率谱,5.应用,Sx(f)为 Rx()的 傅立叶变换,因此,包含Rx()的全部信息Sx(f)反映信号的频域结构,与幅值谱一致,但Sx(f)反映信号幅值的平方,因此,其频域结构特征更明显.频响函数(第四章后介绍),通过输入、输出的自谱，可得系统幅频特性,但，计算中丢失了相位信息，所以不能得到相频
8、特性。,通常把在(-,)频率范围内定义的功率谱Sx(f)称为双边功率谱，而把只在(0,)频率范围内定义的功率谱Gx(f)称为单边功率谱，二者之间的关系为,另外一种常用的表示方法是取功率谱的对数,其单位是分贝(dB)，称为对数功率谱。,1.定义:,称为x(t)和y(t)的互功率谱密度函数，保留了Rxy()的全部信息,2.关系:,二、互功率谱,X*为X的共轭复数,3规定单边功率谱,f=0,互功率谱不具有功率的物理意义,是两随机信号相关性的频域描述,取值范围0,1,=1：完全相干=0：不相干(0,1):有如下三种可能,(1）测试中有外界噪声干扰；(2）输出y(t)是输入x(t)和其它输入的综合输出；
9、(3）联系x(t)和y(t)的线性系统是非线性的。,4、相干函数：用于评价系统的输入信号和输出信号的因果性，即输出信号的功率谱中有多少是输入量引起的。,5.应用(第四章后),由于自相关函数的特点，利用互谱分析可排除噪声的影响，这是这种分析方法的突出的优点。,频率响应函数分析,自谱、互谱估计,即有限长样本计算,自谱估计：,互谱估计：,数字信号处理,5.扩展知识(选讲)1）瀑布图,在机器增速或降速过程中，对不同转速时的振动信号进行等间隔采样，并进行功率谱分析，将各转速下的功率谱组合在一起成为一个转速 功率谱三维图，又称为瀑布图。图为柴油机振动信号瀑布图。图中，在转速为1480rp的三次频率上和1990rpm的6 次频率上谱峰较高，也就是在这两个转速上产生两种阶次的共振，这就可以定出危险旋转速度，进而找到共振根源。,
