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1、6.1 测量误差的概念仪器测量某量产生误差表现相同条件对某量多次重复观测所得观测值l1，l2，ln一般互不等设观测量的真值 观测量li的误差 产生误差原因仪器误差、观测误差与外界环境误差分类偶然误差、系统误差,第6章 测量误差的基本知识,(1)偶然误差符号与大小呈偶然性单个偶然误差无规律，大量偶然误差有统计规律偶然误差真误差案例1三等、四等水准测量在cm分划水准标尺上估读mm位估读的数有时过大，有时偏小案例2经纬仪测量水平角大气折光使望远镜中目标的成像不稳定引起瞄准目标有时偏左、有时偏右多次观测取平均值可以削弱偶然误差的影响不能完全消除偶然误差的影响,(2)系统误差符号与大小保持不变，或按一定
2、规律变化案例钢尺量距用没有鉴定、名义长为30m、实际长为30.005m的钢尺量距每丈量一整尺段距离就量短了0.005m产生-0.005m的量距误差各整尺段的量距误差大小都是-0.005m符号都是负，不能抵消，具有累积性系统误差对观测值的影响具有一定的规律性找到规律就可对观测值施加改正以消除或削弱系统误差的影响,误差定义规范规定测量仪器使用前应检验和校正按规范要求操作布设平面与高程控制网测量控制点三维坐标时应有一定量的多余观测严格按规范要求进行测量时系统误差与粗差是可被消除或削弱到很小只讨论误差有偶然误差(真误差)的情形,6.2 偶然误差的特性定义大部分情况下，真值 未知，求不出某些情形中，观测
3、量函数的真值已知案例三角形内角和闭合差定义为 i=(1+2+3)i180真值，的真误差结论：三角形闭合差的真误差等于闭合差本身,358个三角形闭合差真误差统计分析案例,横坐标，纵坐标长条矩形面积，等于频率,偶然误差有界一定观测条件、有限次观测偶然误差绝对值不超过一定限值 小误差出现频率大，大误差出现频率小 绝对值相等的正、负误差出现频率大致相等 观测次数n，偶然误差平均值 0,偶然误差的特性,误差数n，误差区间d 0小长条矩形顶折线光滑曲线正态分布密度曲线正态分布概率密度函数德国科学家高斯(Gauss)1794年研究误差规律时发现，f()0|1|2|，f(1)f(2)f()=f()，f()关于
4、y轴对称 E()=0,概率论称随机变量为连续型随机变量时，可以证明E()随机变量的数学期望Var()方差，标准差为离散型随机变量时，上述两式变成,6.3 评定真误差精度的指标(1)标准差与中误差对真值 进行了n次等精度独立观测观测值l1，l2，ln 真误差1，2，n 观测值标准差n有限时标准差中误差(mean square error)m表示,例6-1 已知某段距离真值49.984m用50m钢尺丈量6次，求一次丈量50m的中误差,2.相对误差专为距离测量定义的精度指标单纯用距离丈量中误差不能反映距离精度情况丈量50m距离，测量中误差5mm丈量100m距离，测量中误差5mm不能认为这两段不同长度
5、的距离丈量精度相等引入相对误差,相对误差无单位，分子、分母长度单位应统一习惯将相对误差分子化为1，分母为一个较大数分母越大相对误差越小，距离测量精度越高后者精度前者,(3)误差容许值设为任一正实数，事件A=(|)的概率为:,-,结论真误差绝对值的占31.73%真误差绝对值2的占4.55%真误差绝对值3的占0.27%后两者属于小概率事件，小样本中不会发生观测次数有限时绝对值2或3的真误差不可能出现测量规范常以2或3作为真误差的允许值限差|限|=2=2m或|限|=3=3m观测值误差大于上述限差时认为它含有系统误差，应剔除,6.4 误差传播定律及其应用测量中，有些未知量不能直接观测测定需由直接观测量
6、计算求出水准仪一站观测的高差h=a-b三角高程测量初算高差h=Ssin直接观测量的误差导致它们的函数也存在误差函数的误差由直接观测量的误差传播过来,(1)线性函数的误差传播定律及其应用函数Z=f1X1+f2X2+fnXn系数f1，f2，fn误差独立观测量X1，X2，Xn观测量中误差m1，m2，mn函数中误差,1)等精度独立观测量算术平均值的中误差等精度独立观测值l1，l2，ln算术平均值每个观测量的中误差m结论算术平均值的中误差=为一次观测中误差的N时，,例6-1 每次距离丈量中误差m=5.02mm6次丈量距离平均值的中误差,2)等精度独立观测量 和 的中误差独立观测n站高差h1，h2，hn路
7、线高差之和h=h1+h2+hn每站高差观测中误差m站,(2)非线性函数的误差传播定律及其应用非线性函数Z=F(X1，X2，Xn)X1，X2，Xn误差独立观测量中误差m1，m2，mn,例6-2 测量斜边S=163.563m，中误差mS=0.006m测量角度=321526，中误差m=6边长与角度观测误差独立,求初算高差h的中误差mh解 h=Ssin，取全微分得,角度的微分量d”除以”是为了将d”的单位由秒弧度H=Ssin=163.563sin321526=87.297mf1=h/S=87.297163.563=0.533721f2=hcot/”=87.297cot321526206265=0.00
8、0671,6.5 等精度独立观测量的最可靠值等精度独立观测值l1，l2，ln算术平均值真误差1，2，n其中取极限结论观测次数n时，算术平均值真值n有限时，取算术平均值为未知量的最可靠值,1）真值 已知2）真值 未知用 代替 计算m定义观测量改正数有真误差 则常数，i=-Vi取平方i2=2-2Vi+Vi2=n2+2V+VV=n2+VV,6.6 等精度独立观测时的精度评定方法,取极限l1，l2，ln误差独立，其两两协方差=0,观测次数n有限时等精度独立观测时观测值改正数Vi计算一次观测中误差的公式白塞尔公式(Bessel formula),例6-3 在例6-1中，假设距离真值未知用白塞尔公式计算钢
9、尺每次丈量50m的中误差？算出六次丈量距离的平均值49.9822m,6.6 不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定(1)权的定义观测量li的中误差mi，权m02 任意正实数li的方差mi2越大，权就越小，精度越低li的方差mi2越小，权就越大，精度越高令Wi=1，则有m02=mi2m02权等于1的观测量方差，单位权方差m0单位权中误差,(2)加权平均值及其中误差对某量进行不等精度独立观测得观测值l1，l2，ln中误差m1，m2，mn权W1，W2，Wn观测值的加权平均值为应用误差传播定律,例6-4 1，2，3点已知高等级水准点其高程误差很小，可以忽略不计为求P点高程，用DS3水准仪独立观测了三段
10、水准路线的高差，每段高差的观测值及其测站数标于图中，求P点高程的最可靠值与中误差。,解 都是用DS3水准仪观测可认为每站高差观测中误差相等高差观测值h1，h2，h3的中误差取h1，h2，h3的权W1=1/n1，W2=1/n2，W3=1/n3计算出P点的高程值为HP1=H1+h1=21.718+5.368=27.086mHP2=H2+h2=18.653+8.422=27.075mHP3=H3+h3=14.165+12.914=27.079m,因为三个已知水准点高程的误差很小，可忽略不计所以求出的三个高差观测值的中误差m1，m2，m3就等于用该高差观测值计算出的P点高程值HP1，HP2，HP3的中误差P点高程加权平均值为,P点高程加权平均值的中误差下面验证P点高程算术平均值的中误差满足P点高程的算术平均值,根据误差传播定律求得点高程算术平均值的中误差结论对于不等精度独立观测加权平均值比算术平均值更合理(中误差更小),
