《浙大版概率与数理统计.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙大版概率与数理统计.ppt（22页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、复习,分布函数,离散型连续型,边缘分布,离散型连续型,X 与Y 的联合分布,(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布,二维随机变量的条件分布,离散型连续型,X 与 Y 相互独立,离散型连续型,独立随机变量 X,Y 的连续函数 g1(X),g2(Y)仍是独立的随机变量,例如：,我们仍采取类比的方法学习二维随机变量函数的分布问题,我们曾经讨论了一维随机变量 X 函数 g(X)的分布，,我们集中讨论两个随机变量的函数的分布问题,当随机变量X1,X2,Xn 的联合分布已知时，,5 二维随机变量函数的分布,现在我们进一步讨论:,如何求出它们的函数 Yj=gj(X1,X2,Xn)j=1,2,m 的联合分布?,二
2、维随机变量(X,Y)的分布 和二元函数 Z=g(X,Y),一维随机变量 Z 的分布,分两种情形讨论,独立随机变量的连续函数 g1(x1),gn(xn)仍独立,例1(P110 例16)已知(X,Y)的联合分布列,解(1),一、离散型随机变量函数的分布,求(1)Z=X+Y 的分布列；,(2)Z=X/Y 的分布列.,Z=X+Y 可能的取值为-2,0,2,P(Z=-2),=1/4;,=P(X=-1,Y=1)+P(X=1,Y=-1),P(Z=-1),1/4,=3/8;,P(Z=1)=P(X=-1,Y=-1)+P(X=1,Y=1),3/8,=5/8.,5/8,P(Z=0),3/8,P(Z=2),3/8,(
3、2)Z2=X/Y 可能的取值为-1,1,仍从实例中总结一般方法：,=2,=P(X=-1,Y=-1),=3/8;,=3/8;,=0,=-2,=-1,=P(X=-1,Y=1)+P(X=1,Y=-1),=P(X=1,Y=1),设 X,Y分别表示投入邮筒A号和B号的信的数目，,解(1),例2(P111例17)今有两封信欲投入编号为 A,B,C 的3个邮筒，,试求：(1)(X,Y)的分布列；,(2)求 V=minX,Y 的分布列.,P(X=0,Y=1),由题意可知 X 和Y 取值均为 0,1,2，,(2)V 的可能取值为 0,1，,1/9 2/9 1/9,，,最后写出 V 的分布列即可.,=P(两封信均
4、投入C邮号筒),=P(一封投入C 筒,另一封投入B筒),P(X=0,Y=2),=P(两封都投入B 筒),2/9 1/9 2/9 0 0/9 0,二、连续型随机变量函数的分布,设连续型随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)，,其函数 Z=g(X,Y)为连续函数,求连续型随机变量 Z 的概率密度 fZ(z)？,(I)求 Z 的分布函数 FZ(z)；,(II)对分布函数 FZ(z)求导即得 Z 的概率密度 fZ(z).,FZ(z)=P(Z z),=P(g(X,Y)z),构成的区域记为G,=P(X,Y)G),下面就按着这个思路,讨论几个特殊函数的分布：,分布函数法,当X 和Y 独立时,令x=u
5、y,1.Z=X+Y 的分布函数,FZ(z)=P(Z z)=P(X+Y z),直线x+y=z 左下方的半平面,设(X,Y)关于X,Y 的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:,卷积公式用来求独立时 Z=X+Y 的概率密度,由概率密度与分布函数的关系:,Z 的概率密度函数,由X 和Y 的对称性,两个随机变量和的概率密度的一般公式,卷积公式,离散型中也有类似公式,记住!,记住!,交换积分次序,视 z 为常数,或,x=u-y,为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域 G,若 X 和 Y 独立,且具有共同的概率密度,求 Z=X+Y 的概率密度.,由卷积公式,例3,解,如设X,Y 独
6、立,都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布,类似地可以证明:,若X和Y 独立,此结论推广到 n 个独立的正态随机变量之和的情形,若X和Y相互独立,且均服从N(0,1),例4,求Z=X+Y 的密度.,解,由卷积公式,令,且,请自行写出结论,服从正态分布的有限个独立随机变量的线性组合仍服从正态分布,更一般地,可以证明:,泊松分布、二项分布也有相应结论,均匀分布?,其中ai(i=1,2,n)为常数.,且 X1,X2,Xn 独立,则,Z 服从正态分布N(0,2).,解 依题意,它们分别服从参数为1,2 的泊松分布,由卷积公式,i=0,1,2,j=0,1,2,例5 若X和Y相互独立,证明 Z=
7、X+Y 服从参数为1+2 的泊松分布.,即 Z 服从参数为 1+2 的泊松分布,r=0,1,例6 设X和Y相互独立,XB(n1,p),YB(n2,p),求Z=X+Y 的分布.,回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:,我们给出不需要计算的另一种证法:,同样，Y 是在n2次独立重复试验中事件A 出现的次数,每次试验中A 出现的概率为 p.,若 X B(n1,p),则 X 是在 n1次独立重复试验中事件A 出现的次数,每次试验中 A 出现的概率都为 p.,故 Z=X+Y 是在 n1+n2 次独立重复试验中事件A 出现的次数,每次试验中A出现的概率仍为 p，,于是 Z 是以(n1+n2,p
8、)为参数的二项随机变量，,即 Z B(n1+n2,p).,例7,若X 和 Y 独立,且均服从U0,1,求Z=X+Y 的密度.,解,卷积公式,由题意知：当 0 x 1,0 z-x 1 时,其他区域上，,当 z 0 时,当 0 z 1 时,当 1 z 2 时,当 z 2 时,服从均匀分布的有限个独立地随机变量之和不服从均匀分布,x z 1+x,2.Z=X/Y 的分布函数,Z=X/Y 的分布函数为FZ(z)=PZ z,x=y u,x=y u,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系:,特别地,当X,Y 相互独立时,记住!,用来求 Z=X/Y 的概率密度,记住!,解,设(X,Y)分别表示两只不同型号灯
9、泡的寿命,例8(P116 例20),且X,Y 相互独立,它们的概率密度分别为,求Z=X/Y 的概率密度.,若 z 0,若 z 0,其分布函数分别为FX(x)和FY(y),X,Y是两个相互独立的随机变量,求 M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布函数.,分析,M=max(X,Y)不大于z,故有 Fmax(x)=P(Mz)=P(Xz,Yz),又由于X 和Y 相互独立,于是 M=max(X,Y)的分布函数为,Fmax(z)=P(Mz),=P(Xz,Yz),=P(Xz)P(Yz),即有 Fmax(z)=FX(z)FY(z).,X 和Y都不大于z，,N=min(X,Y)的分布函数为,Fmin
10、(z)=P(Nz),=1-P(N z),=1-P(X z,Y z),=1-P(X z)P(Y z),即有 Fmin(z)=1-1-FX(z)1-FY(z).,特别地,若X 与Y 的分布函数相同时,Fmax(z)=F(z)2,Fmin(z)=1-1-F(z)2,均可以推广到 n 维,若X1,Xn是连续型随机变量,在求得 M=max(X1,Xn)和 N=min(X1,Xn)的分布函数后,不难求得 M 和N 的概率密度.,3.M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布函数,由于当 L1,L 2中有一个损坏时,系统 L 就停止工作,已知它们的概率密度分别为,例9 设系统 L 由两个独立的子系统
11、 L1,L 2 联接而成,联接的方式分别为:(1)串联，(2)并联,(3)备用(当系统L1 损时,系统L2 开始工作),设L1,L 2的寿命分别为X,Y,试分别就以上三种联接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度.,Z=min(X,Y)的分布函数为,故 L 的寿命为 Z=min(X,Y),Fmin(z)=1-1-FX(z)1-FY(z),由于当系统 L1 损时,系统 L2 才开始工作,由于当且仅当L1,L 2都损坏时,系统 L 才停止工作,(2)并联的情况:,故 L 的寿命为 Z=max(X,Y),Z=max(X,Y)的分布函数为,故 L 的寿命为 Z=X+Y,当 z 0 时,当 z 0 时,Z
12、 的概率密度函数,常称 M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值.,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.,当X1,Xn相互独立,且具有相同分布函数F(x)时,以上采用分布函数法讨论了和、商以及极值的分布问题，,其他形式的函数的分布问题仍可采用分布函数法来解决，,例如：,例10 设(X,Y)的概率密度为,求 Z=X-Y 的概率密度.,解,x-y=z,y=x,FZ(z)=P(Z z),=P(X-Y z),当 z 0 时,当 0 z 1 时,当 z 1 时,0;,=1,z,例11(P121 例23)若X 和 Y 独立,且概率密度分
13、别为,解,X 和Y 独立,FZ(z)=P(Z z),当 z 0 时,当 z 0 时,=0;,我们介绍了求随机向量函数的分布的原理和方法,需重点掌握的是:,1.已知两个随机变量的联合概率分布,会求其函数的概率分布；2.会根据多个独立随机变量的联合概率分布求其函数的概率分布.,离散型的分布函数连续型的分布函数,Z=X+Y 或 Z=XY,Z=maxX,Y,Z=max(X,Y),Z=X/Y,Z=X+Y,Z=min(X,Y),先找出Z 的取值,再用独立性或其他条件.,独立时,独立时,独立时,独立时,Fmax(z)=FX(z)FY(z),有相同的分布函数时,Fmin(z)=1-1-F(z)2,独立时,Fm
14、in(z)=1-1-FX(z)1-FY(z),有相同的分布函数时,Fmax(z)=F(z)2,请通过练习熟练掌握,但有时我们无法精确求出此分布.,我们介绍了如何求随机变量函数的分布函数.,当这个积分无法精确求出时，一个可取的方法是采用计算机模拟.,例如，想求两个独立连续型随机变量之和X+Y 的分布函数,X 的密度函数为 f X,Y 的密度函数为 f Y,在理论上,可以求得：,小结,对于连续型 随机变量,对于离散型随机变量，先找出Y 与 X 的对应值g(xk)，再利用 X 的分布列来求Y 的分布列,g(xk)中有相同值时,将其概率相加并项.,当Y=g(X)不具有单调性时，用分布函数法来求得 Y 的分布.,当Y=g(X)具有单调性时，用定理求得 Y 的分布;,(4步),(2步),
