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1、第八章、假设检验,第一节：假设检验第二节：正态总体均值的假设检验第三节：正态总体方差的假设检验,第一节 假设检验,基本概念基本思想基本步骤两类错误,假设检验,参数假设检验,非参数假设检验,这类问题称作假设检验问题.,总体分布已知，检验关于未知参数的某个假设,总体分布未知时的假设检验问题,在本节中，我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题.这就是根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确.,一、基本概念,引例：已知某班概率统计的期末考试成绩服从正态分布。根据平时的学习情况及试卷的难易程度，估估计平均成绩为75分，考试后随机抽样5位同学的试卷，得平均成绩为72分，试问所估计的75分是否
2、正确？,“全班平均成绩是75分”，这就是一个假设,根据样本均值为72分，和已有的定理结论，对EX=75是否正确作出判断，这就是检验，对总体均值的检验。,判断结果：接受原假设，或拒绝原假设。,表达：原假设：H0：EX=75；备择假设：H1：EX75,二、基本思想,参数的假设检验：已知总体的分布类型，对分布函数或密度函数中的某些参数提出假设，并检验。,基本原则小概率事件在一次试验中是不可能发生的。,思想：如果原假设成立，那么某个分布已知的统计量在某个区域内取值的概率应该较小，如果样本的观测数值落在这个小概率区域内，则原假设不正确，所以，拒绝原假设；否则，接受原假设。,拒绝域,检验水平（或显著性水平
3、）,引例问题,原假设 H0：EX=75；H1：EX75,假定原假设正确，则XN（75，2），于是T统计量,可得,如果样本的观测值,则拒绝H0,检验水平,临界值,拒绝域,三、基本步骤,1、提出原假设H0，确定备择假设H1；,2、构造分布已知的合适的统计量；,3、由给定的检验水平，求出在H0成立的条件下的 临界值（上侧分位数，或双侧分位数）；,4、计算统计量的样本观测值，如果落在拒绝域内，则拒绝原假设，否则，接受原假设。,假设检验会不会犯错误呢？,由于作出结论的依据是下述,小概率原理,小概率事件在一次试验中基本上不会发生.,四、两类错误,第一类错误（弃真错误）原假设H0为真，而检验结果为拒绝H0；
4、记其概率为，即 P拒绝H0|H0为真=,第二类错误（受伪错误）原假设H0不符合实际，而检验结果为接受H0；记其概率为，即 P接受H0|H0为假=,希望：犯两类错误的概率越小越好，但样本容量一定 的前提下，不可能同时降低和。,原则：保护原假设，即限制的前提下，使尽可能的小。,注意：“接受H0”，并不意味着H0一定为真；“拒绝H0”也不意味着H0一定不真。,犯两类错误的概率:,显著性水平 为犯第一类错误的概率.,P拒绝H0|H0为真=,P接受H0|H0为假=,第二节 正态总体均值的假设检验,单个正态总体的均值检验两个正态总体的均值检验,一、单个正态总体的均值检验,问题：总体XN（，2），2已知,假
5、设 H0：=0；H1：0,构造U统计量,由,U检验法,双边检验,如果统计量的观测值,则拒绝原假设；否则接受原假设,确定拒绝域,H0为真的前提下,1、方差已知,例1 由经验知某零件的重量XN（，2），=15，=0.05；技术革新后，抽出6个零件，测得重量为（单位：克）14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6，已知方差不变，试统计推断，平均重量是否仍为15克？（=0.05）,解 由题意可知：零件重量XN（，2），且技术 革新前后的方差不变2=0.052，要求对均值进行 检验，采用U检验法。,假设 H0：=15；H1：15,构造U统计量，得U的0.05双侧分位数为,例1 由经验知某
6、零件的重量XN（，2），=15，=0.05；技术革新后，抽出6个零件，测得重量为（单位：克）14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6，已知方差不变，试统计推断，平均重量是否仍为15克？（=0.05）,解,因为4.91.96，即观测值落在拒绝域内,所以拒绝原假设。,而样本均值为,故U统计量的观测值为,H0：0；H1：0,H0：0；H1：0,或,单 边 检 验,拒绝域为,拒绝域为,2、方差未知,问题：总体XN（，2），2未知,假设 H0：=0；H1：0,构造T统计量,由,t检验,双边检验,如果统计量的观测值,则拒绝原假设；否则接受原假设,确定拒绝域,例2 化工厂用自动包装机包装化
7、肥，每包重量服从正态分布，额定重量为100公斤。某日开工后，为了确定包装机这天的工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得平均重量为99.978，均方差为1.212，能否认为这天的包装机工作正常？（=0.1）,解 由题意可知：化肥重量XN（，2），0=100 方差未知，要求对均值进行检验，采用T检验法。,假设 H0：=100；H1：100,构造T统计量，得T的0.1双侧分位数为,解,因为0.05451.86，即观测值落在接受域内,所以接受原假设，即可认为这天的包装机工作正常。,而样本均值、均方差为,故T统计量的观测值为,例2 化工厂用自动包装机包装化肥，每包重量服从正态分布，额定重量为100公斤。某
8、日开工后，为了确定包装机这天的工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得平均重量为99.978，均方差为1.212，能否认为这天的包装机工作正常？（=0.1）,H0：0；H1：0,H0：0；H1：0,或,单边检验,拒绝域为,拒绝域为,例3 某种电子元件的寿命 X（以小时计）服从正态分布，均未知。现测得16只元件的寿命如下：159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？,解：按题意需检验取。由表8.1知检验问题的拒绝域为现在n=16,又算得即得t不落在拒绝域，故接受，即认为
9、元件的平均寿命不大于225小时。,故对给定的检验水平 得H0的拒绝域：,U检验法,二、两个正态总体的均值检验,已知，检验H0：,1、方差已知，检验均值相等,问题：,则当H0由成立时,解 假设：,因为：,所以接受H0假设，即认为 A、B两法的平均产量无显著差异。,例4 据以往资料，已知某品种小麦每4平方米产量（千克）的 方差为。今在一块地上用A，B 两法试验，A 法设12个样本点，得平均产量；B 法设8个样本 点，得平均产量，试比较A、B两法的平均产量 是否有显著差异。,2、方差未知，但两个总体的方差相等，检验均值相等,问题：,未知，但知，检验H0：,对给定的检验水平 得H0的拒绝域：,若 H0
10、 成立，则,T检验法,解 假设：,所以拒绝H0假设，两种灯泡的平均寿命有显著差异。,例6 在平炉进行一项试验以确定改变操作方法的 建议是否会增加钢的得率，试验是在同一只平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其它条件都尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼了10炉，其得率分别为 标准方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3 新方法 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1,设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体 和,均未知。问建议
11、的新操作方法能否提高得率？（取）,解：需要检验假设分别求出标准方法和新方法的样本均值和样本方差如下：,又，故拒绝域为现在由于样本观察值t-4.295-1.7341,所以拒绝，即认为建议的新操作方法较原来的方法为优。,第三节 正态总体方差的假设检验,单个正态总体的方差检验两个正态总体的方差检验,一、单个正态总体均值未知的方差检验,问题：设总体XN（，2），未知,构造2统计量,由,如果统计量的观测值,则拒绝原假设；否则接受原假设,确定临界值,或,2检验,假设,1、双边检验,例1 某炼铁厂的铁水含碳量X在正常情况下服从正态分布，现对工艺进行了某些改进，从中抽取5炉铁水测得含碳量如下：4.421，4.
12、052，4.357，4.287，4.683，据此是否可判断新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为0.1082（=0.05）？,解 这是一个均值未知，正态总体的方差检验，用2检验法,由=0.05，得临界值,假设,例1 某炼铁厂的铁水含碳量X在正常情况下服从正态分布，现对工艺进行了某些改进，从中抽取5炉铁水测得含碳量如下：4.421，4.052，4.357，4.287，4.683，据此是否可判断新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为0.1082（=0.05）？,解,2统计量的观测值为17.8543,因为,所以拒绝原假设,即可判断新工艺炼出的铁水含碳量的方差不是0.1082,问题：设总体XN（，2），未知,构造
13、2统计量,由第六章 定理知,2检验,假设,2、单边检验,另，当假设 成立时，有,如果统计量的观测值,则拒绝原假设；否则接受原假设,2检验,例2 机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋标准重量为500克，标准差不能超过10克。某天开工后，为检查其机器工作是否正常，从装好的食盐中随机抽取9袋，测其净重为,497，507，510，475，484，488，524，491，515,问这天包装机工作是否正常(=0.05)?,由题知要检验假设,由于方差未知，故采用 t检验法，构造统计量,从而得统计量T的样本观测值为,因0.1872.306,故接受原假设，认为平均每袋食盐的净重为500克。,由于
14、均值未知，故采用 检验法，构造统计量,从而得统计量 的样本观测值为,因20.5615.5,小概率事件发生，故拒绝原假设，认为每袋食盐的净重标准差超过10克，所以该天包装机工作不够正常。,未知，检验假设H0：,若假设H0成立，则,二、两个正态总体的方差检验,问题：,由第六章 定理知,F检验,1、均值未知的方差双边检验,对给定的检验水平,对给定的检验水平 得H0的拒绝域：,及,其中：,例3 测得两批电子器材的样本的电阻为：（单位：）第一批：0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137第二批：0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140设这两批器材
15、的电阻均服从正态分布，试检验H0：,解 这是一个两正态总体的方差检验问题，用F检验法,由样本观测数据得,假设,所以,而,所以，接受原假设，即可认为两批电子器材的方差相等,例4 对甲、乙两种玉米进行评比试验，得如下产量资料：甲：951 966 1008 1082 983 乙：730 864 742 774 990 问这两种玉米的产量差异有没有显著差异？,解（1）先对方差作检验：,所以可认为甲、乙两种玉米的方差没有显著差异即可认为,而,因,解：（2）再对均值作检验：,因为已假设方差相等，故用 T 检验。,所以拒绝原假设 H20，即认为两种玉米的产量有明显差异。,2、均值未知的方差单边检验,问题：,由第六章 定理知,若假设H0成立，则,例5、为比较不同季节出生的新生儿（女）体重的方差，从1975年12月及6月的新生儿（女）中分别随机抽取了6名及10名，测得其体重如下（单位：g):,12月 3520 2960 2560 1960 3260 3960,6月 3220 3220 3760 3000 2920 3740 3060 3080 2940 3060,假定新生儿体重服从正态分布，问新生儿（女）体重的方差是否冬季的比夏季的小(=0.05)?,解：本题为两正态总体均值未知时方差的单边检验问题。,
