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1、2023/11/15,1,欢迎你！,清华园的 新主人,2023/11/15,2,刻苦 勤奋求实 创新,祝新学期取得新的进步！,2023/11/15,3,微积分,E-mail:,讲课教师,陆小援,Tel:62782327,2023/11/15,4,参考书目：,1.高等数学教程 施学瑜,清华大学出版社,3.一元微积分 萧树铁 主编,高教出版社,4.微积分和数学分析引论 第一卷第一、二分册 柯朗 科学出版社,2.高等数学同济大学数学教研室主编（第四版）,高教出版社,2023/11/15,5,作业,P11习题1.2 2.4.P24习题1.3 1.3.4.8.10.,复习：P137预习：P3846,20
2、23/11/15,6,答疑时间地点：,理科楼 数学系 1111,交作业时间：星期一,星期五 课后,2023/11/15,7,一元函数 微积分,无穷级数,多元函数 微积分,常微分方程,2023/11/15,8,引言,（一）上大学学什麽？,珍惜时光,三个方面,学会自学,尝试研究性的学习方法：,提出问题、研究问题、解决问题,注重持续性学习：,有计划地安排学习,做人之道,治学之方,健身之术,学会向书本、老师、周围学,2023/11/15,9,（二）学数学学什麽？,数学的基本特征,抽象性,演绎性,广泛性,（研究对象）,（论证方法）,（应用）,假设,结论,logic,理性思维,2023/11/15,10,
3、2023/11/15,11,（三）这个学期学什麽？,一元函数微分学：,利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质,极限及其理论,导数与微分及其理论,微分学应用,一元函数积分学：,不定积分,定积分概念及其理论,积分学应用,数项级数,2023/11/15,12,第一讲 实数与函数,一、实数的重要性质,二、函数,2023/11/15,13,因此了解掌握实数的基本性质对于学习微积分是必要的基础.,一、实数的重要性质,连续模型,建立在实数基础之上,（一）实数集的有序性,（二）有理数的稠密性,（四）实数集的界与确界,（三）实数集的连续性,2023/11/15,14,予备知识,1.实数集,2023/11/15,
4、15,2.邻域,2023/11/15,16,(一)实数集的有序性,有且仅有一个式子成立.,在做加法和乘法运算时,保持下列关系:,从数轴上看,实数是从小到大依序自左至右排列的,2023/11/15,17,（二）有理数的稠密性,有理数集是实数集的一个子集,有理数在实数集中是稠密的,即在任意两个不同的实数之间,都有无穷多个有理数,这一点具有非常重要的意义,2023/11/15,18,数轴上的点P,（三）实数域的连续性 实数域 R 布满数轴,有空档！,一一对应,问：有理数域布满数轴了吗？,这是一个无理数,2023/11/15,19,定义：,(四)实数集的界与确界,1.有界集,存在,对任意一个,2023
5、/11/15,20,例如：,（1）自然数集合,（2）真分数集,2023/11/15,21,定义：,例如：,没有最大值！,2.集合的确界,注意确界和最大值的区别,2023/11/15,22,3.实数的连续性刻画确界公理,（1）如果非空实数集合有上界,则 必有上确界.,（2）如果非空实数集合有下界,则 必有下确界.,定理,2023/11/15,23,2023/11/15,24,有理数集与实数集性质的区别,在实数范围中的上确界,但是,在有理数范围中,实数集是连续的,有理数集不是连续的,（1）如果实数集的子集有上（下）界,则必有上（下）确界.,但是,有理数集的子集有界,则未必有确界.,例如,没有上确界
6、,2023/11/15,25,(2)想象一个点在实数轴上作连续 运动,在每一个时刻这个点所处的位置都是一个实数,但不一定是有理数,2023/11/15,26,二、函数,(一)函数概念,定义：,存在唯一,2023/11/15,27,函数的两个要素：,2.定义域 D,1.对应规则 f,2023/11/15,28,（二）函数的代数属性,1.奇函数与偶函数,2.单调函数,2023/11/15,29,3.周期函数,注意 并不是所有的函数都有最小周期,例如：考察狄里克雷函数,2023/11/15,30,4.有界函数,定义：,2023/11/15,31,例4,2023/11/15,32,问题 如何定义无界函
7、数？,例,2023/11/15,33,（三）复合函数与反函数,定义：,1.复合函数,2023/11/15,34,例,则有,则有,2023/11/15,35,则有,所以,不能构成复合函数,因为,2023/11/15,36,2.反函数,在函数定义中，要求函数是单值的，即,2023/11/15,37,2023/11/15,38,例2,例3,习惯上,记,2023/11/15,39,（四）初等函数,基本初等函数,（2）幂函数,（5）三角函数,（3）指数函数,（6）反三角函数,（4）对数函数,（1）常量函数,e是无理数,都是周期函数,2023/11/15,40,初等函数,基本初等函数经过有限次的四则运算,及复合运算所得到的函数,称为初等函数.,双曲函数,双曲正弦,双曲余弦,双曲正切,2023/11/15,41,反双曲正弦,反双曲余弦,反双曲正切,2023/11/15,42,非初等函数的例子,（1）符号函数,注意,2023/11/15,43,（2）取整函数,例如,注意,2023/11/15,44,函数表示的其他分类：,（1）显函数,（2）隐函数,（3）参数式函数,
