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1、动态电路：含储能元件L(M)、C。KCL、KVL方程仍为代数方程，而元件方程中含微分或积分形式。因此描述电路的方程为微分方程。(记忆电路),电阻电路：电路中仅由电阻元件和电源元件构成。KCL、KVL方程和元件特性均为代数方程。因此描述电路的方程为代数方程。(即时电路),6.1 动态电路概述,一、电阻电路与动态电路,S未动作前,S接通电源后进入另一稳态,i=0,uC=0,i=0,uC=US,二、什么是电路的过渡过程？,过渡过程：电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。,初始状态,过渡状态,新稳态,三、过渡过程产生的原因,1.电路中含有储能元件(内因),能量不能跃变,2.电路结构或电路参数发
2、生变化(外因),支路的接入、断开；开路、短路等,参数变化,换路,四、分析方法,一阶电路：一阶微分方程所描述的电路.,二阶电路：二 阶微分方程所描述的电路.,(t0),经典法时域分析法,动态电路的阶数：,高阶电路：高 阶微分方程所描述的电路.,一、单位阶跃函数(Unit step function),1.定义,2.延迟单位阶跃函数,t0,6.2 阶跃函数和冲激函数,延迟单位阶跃函数可以起始任意函数,例1.,(t),(t t0),例2.,二、单位冲激函数(Unit Impulse Function),1.单位脉冲函数,2.定义,k(t),延迟单位冲激函数(t-t0):,3.函数的筛分性质,同理有,
3、4.(t)和(t)的关系,=(t),例.,解:,f(t)在t=0时连续,一、t=0+与t=0 的概念,t=0时换路,t=0 t=0的前一瞬间,t=0+t=0的后一瞬间,t=0 换路瞬间,t=t0：t0的前一瞬间；t=t0+：t0的后一瞬间。,初始条件为 t=0+时u、i及其各阶导数的值.,(t0),t=t0换路：,6.3 电路中起始条件的确定,二、换路定则(开闭定则),当t=0+时,qC(0+)=qC(0),uC(0+)=uC(0),当i(t)为有限值时,qC=CuC,电荷守恒,换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,当t=0+时,L(0+)=L(0),iL(0
4、+)=iL(0),当u(t)为有限值时,L=LiL,磁链守恒,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,小结：,(2)换路定则是建立在能量不能突变的基础上.,(1)一般情况下电容电流、电感电压均为有限值，换路定则成立。,换路定则:,三、电路初始条件的确定,例1.,求 uC(0+),iC(0+).,t=0时打开开关S.,由换路定则：,uC(0+)=uC(0)=8V,0+等效电路：,解：,例2.,t=0时闭合开关S.求uL(0+).,iL(0+)=iL(0)=2A,0+等效电路：,解：,例3.,(1)求iL(0),(2)由换路定则，得,解：,(3)0+电路,例4.,0
5、+电路：,iL(0+)=iL(0)=IS,uC(0+)=uC(0)=RIS,uL(0+)=uC(0+)=RIS,iC(0+)=iL(0+)uC(0+)/R=RISRIS=0,求 iC(0+),uL(0+).,解：,求初始值的一般步骤：,(1)由换路前电路求uC(0)和iL(0)；,(2)由换路定则，得uC(0+)和iL(0+)；,(3)作0+等效电路：,(4)由0+电路求所需的u(0+)、i(0+)。,电容用电压为uC(0+)的电压源替代；,电感用电流为iL(0+)的电流源替代。,零输入响应(Zeroinput response)：激励(电源)为零，由初始储能引起的响应。,一、RC电路的零输入
6、响应(C对R放电),uC(0)=U0,解答形式 uC(t)=uC=Aept(特解 uC=0),特征方程 RCp+1=0,6.4 一阶电路的零输入响应,起始值 uC(0+)=uC(0)=U0,A=U0,令=RC,具有时间的量纲,称 为时间常数。,从理论上讲 t 时,电路才能达到稳态.单实际上一般认为经过3 5 的时间,过渡过程结束,电路已达到新的稳态。,C的能量不断释放,被R吸收,直到全部储能消耗完毕.,能量关系：,二、RL电路的零输入响应,其解答形式为：i(t)=Aept,由特征方程 Lp+R=0 得,由初值 i(0+)=i(0)=I0,得 i(0+)=A=I0,(1)iL,uL 以同一指数规
7、律衰减到零；(2)衰减快慢取决于L/R。,令=L/R RL电路的时间常数,3 5 过渡过程结束。,iL(0+)=iL(0)=35/0.2=175 A=I0,uV(0+)=875 kV!,例.,小结：,1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应 都是一个指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数.RC电路：=RC,RL电路：=L/R3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。4.一阶电路的零输入响应和初值成正比。,预防措施：,零状态响应(Zerostate response)：储能元件初始能量为零，在激励(电源)作用下产生的过渡过程。,(2)求特解 uC=US,1.RC电路的零状态响应,(
8、1)列方程：,uC(0)=0,非齐次线性常微分方程,解答形式为：,通解,特解,强制分量(稳态分量),6.5 一阶电路的零状态响应,uC(0+)=A+US=0,A=US,(3)求齐次方程通解 uC 自由分量(暂态分量),(4)求全解,(5)定常数,US,US,uC,uC,强制分量(稳态),自由分量(暂态),能量关系：,电源提供的能量一部分被电阻消耗掉，,一部分储存在电容中，且WC=WR,充电效率为50%,t=0时闭合开关S.,求uC、i1的零状态响应。,u,iC,例.,解法1:,解法2:,戴维南等效.,2.RL电路的零状态响应,iL(0)=0,3.正弦电源激励下的零状态响应(以RL电路为例),i
9、L(0)=0,强制分量(稳态),自由分量(暂态),用相量法计算稳态解 iL:,iL(0)=0,定常数,解答为,讨论：,(1)u=0o,即合闸 时u=,合闸后，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。,(2)u=/2 即 u=/2,A=0 无暂态分量,u=+/2时波形为：,最大电流出现在合闸后半个周期时 t=T/2。,1.RC电路的零状态响应,2.RL电路的零状态响应,3.正弦电源激励下的零状态响应(以RL电路为例),4.阶跃响应,4.阶跃响应,uC(0)=0,uC(0)=0,延时阶跃响应:,激励在t=t0时加入，则响应从t=t0开始。,uC(t0)=0,例.,求零状态响应iC.,解:,等效,分段表示
10、为：,等效,(1)0t0.5s,(2)0.5st,另解：,波形:,小结：,1.一阶电路的零状态响应是储能元件无初始储量时，由输入激励引起的响应。解答有二个分量:,uC=uC+uC,2.时间常数与激励源无关。,3.线性一阶网络的零状态响应与激励成正比。,4.零状态网络的阶跃响应为 y(t)(t)时，则延时t0的阶跃响应为 y(t-t0)(t-t0)。,全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。,一、一阶电路的全响应及其两种分解方式,1.全解=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解),uC=US,以RC电路为例,解答为 uC(t)=uC+uC,非齐次方程,uC=Aept,=RC,uC(0
11、+)=A+US=U0,A=U0 US,(t0),强制分量,自由分量,uC(0)=U0,6.6 一阶电路的全响应,强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),2.全响应=零状态响应+零输入响应,零状态响应,零输入响应,=,+,uC 1(0-)=0,uC2(0-)=U0,uC(0)=U0,全响应小结:,1.全响应的不同分解方法只是便于更好地理解过渡过程的本质;,2.零输入响应与零状态响应的分解方法其本质是叠加，因此只适用于线性电路；,3.零输入响应与零状态响应均满足齐性原理，但全响应不满足。,一阶电路的数学描述是一阶微分方程,其解的一般形式为,令 t=0+,6.7 用三要素法分析一阶电路,例1.,已知
12、：t=0时合开关S。求 换路后的uC(t)。,解,例2.,已知：电感无初始储能 t=0 时合 S1,t=0.2s时合S2。,0 t 0.2s,t 0.2s,解,求换路后的电感电流i(t)。,例3.,已知:u(t)如图示,iL(0)=0。求:iL(t),并画波形.,解,0 t 1 iL(0+)=0,t 0 iL(t)=0,iL()=1A,iL(t)=1et/6 A,=5/(1/5)=6 s,方法一：用分段函数表示,1 t 2 iL(1+)=iL(1-)=1e1/6=0.154 A,iL()=0,iL(t)=2+0.1542 e(t 1)/6=21.846 e(t 1)/6 A,t 2 iL(2+
13、)=iL(2-)=2-1.846 e-(2-1)/6=0.437 A,iL()=2A,iL(t)=0.437 e(t 2)/6 A,=6 s,=6 s,u(t)=(t)+(t1)2(t2),iL(t)=(1 e t/6)(t)+(1e(t1)/6)(t1)2(1e(t 2)/6)(t2)A,解法二：用全时间域函数表示(叠加),多次换路,充电电路,0T:电容充电,T2T:电容放电,6.8 脉冲序列作用下的RC电路,一、T,过渡过程在半个周期(T)内结束,由三要素法得,变化曲线为,（1）uC的变化规律,0 t T,T t 2T,（2）uR的变化规律,三要素为,变化曲线为,63,23.3,71.6,
14、26.5,72.8,t=T uC=100(1-0.37)=63,t=2T uC=0.3763=23.3,t=3T uC=23.3+0.63(100-23.3)=71.6,t=4T uC=0.3771.6=26.5,开始时,充电幅值 放电幅值,当充电幅值=放电幅值时，进入准稳态。,0 t T,T t 2T,t=T,t=2T,可解出U1，U2,当US=100V，T=时解得U2=73.2V，U1=27V,暂态解,由初值 uC(0)=0 定系数 A,稳态解一般形式,全解,全响应,2nT t(2n+1)T,(2n+1)T t(2n+2)T,单位冲激响应：电路在单位冲激激励作用下产生的零状态响应。(Uni
15、t impulse response),一、由单位阶跃响应求单位冲激响应,单位阶跃响应,单位冲激响应,h(t),s(t),单位冲激函数,(t),单位阶跃函数,(t),6.9 一阶电路的冲激响应,证明：,(1)s(t)定义在(，)整个时间轴。,注意：,(2)阶跃响应s(t)可由冲激响应(t)积分得到。,(1)先求单位阶跃响应：,例1.,uC(0+)=0,uC()=R,=RC,求：is(t)为单位冲激时电路响应 uC(t)和 iC(t),iC(0+)=1,iC()=0,(2)再求单位冲激响应：,已知：uC(0+)=0。,令 iS(t)=(t)A,解,冲激响应,阶跃响应,uC 不可能是冲激函数,否则
16、KCL不成立,二、直接求冲激响应,uC(0-)=0,1.t 从 0 0+,电容中的冲激电流使电容电压发生跳变,(转移电荷),分二个时间段来考虑：,2.t 0 零输入响应(C放电),全时间域表达式：,iL不可能是冲激,定性分析：,1.t 从 0 0+,例2.,2.t 0(L放电),全时间域表达式：,一、卷积积分(Convolution)的定义,定义：,设 f1(t)，f2(t)t 0 均为零,性质1,证明,令=t：0 t:t 0,性质2,二、卷积积分的性质,6.10 卷积积分,三、卷积积分的应用,e(t),h(t),r(t),即,物理解释:,将激励 e(t)看成一系列宽度为，高度为 e(k)矩形脉冲叠加的。,性质4,性质3,=f(t),第1个矩形脉冲,若 单位脉冲函数 p(t)的响应为 h p(t),第k个矩形脉冲,则,第2个矩形脉冲,t 时刻观察到的响应应为 0 t 时间内所有激励产生的响应的和,k:脉冲作用时刻,t：观察响应时刻,激励,响应,响应,激励,积分变量（激励作用时刻）,t 参变量(观察响应时刻),解：先求该电路的冲激响应 h(t),uC()=0,例1.,已知：R=500 k,C=10 F,uC(0)=0,求：uC(t)。,再由卷积积分计算当 iS=2et(t)mA 时的响应 uC(t):,例2.,解,卷,移,乘,积,由图解过程确定积分上下限：,
